Question

Se o polinômio f(x) = 2x4- x3- mx2+ nx + 2 é divisível por q(x) = x2 - x – 2, então:
(a) m . n = 6
(b) m – n = 7
(c) m + n = 7
(d) n – m = 8
(e) n : m = 9

Answer 1

Explicação passo-a-passo:

q(x) = x² - x - 2

q(x) = x² + x - 2x - 2

q(x) = x.(x + 1) - 2.(x + 1)

q(x) = (x + 1).(x - 2)

=> Para q(x) = 0:

(x + 1).(x - 2) = 0

• x + 1 = 0

x' = -1

• x - 2 = 0

x" = 2

As raízes de q(x) são -1 e 2

Como P(x) é divisível por q(x), então -1 e 2 também são raízes de P(x), logo P(-1) = 0 e P(2) = 0

=> P(-1) = 0

P(x) = 2x⁴ - x³ - mx² + nx + 2

P(-1) = 2.(-1)⁴ - (-1)³ - m.(-1)² + n.(-1) + 2

P(-1) = 2.1 - (-1) - m.1 - n + 2

P(-1) = 2 + 1 - m - n + 2

P(-1) = 5 - m - n

5 - m - n = 0

-m - n = -5 .(-1)

m + n = 5

=> P(2) = 0

P(x) = 2x⁴ - x³ - mx² + nx + 2

P(2) = 2.2⁴ - 2³ - m.2² + n.2 + 2

P(2) = 2.16 - 8 - 4m + 2n + 2

P(2) = 32 - 8 - 4m + 2n + 2

P(2) = 26 - 4m + 2n

26 - 4m + 2n = 0

-4m + 2n = -26 .(-1)

4m - 2n = 26 ÷2

2m - n = 13

Podemos montar o sistema:

• m + n = 5

• 2m - n = 13

Somando as equações:

m + 2m + n - n = 5 + 13

3m = 18

m = 18/3

m = 6

Substituindo na primeira equação:

m + n = 5

6 + n = 5

n = 5 - 6

n = -1

(a) m . n = 6

=> Falso

m . n = 6.(-1)

m . n = -6

(b) m – n = 7

=> Verdadeiro

m - n = 6 - (-1)

m - n = 6 + 1

m - n = 7

(c) m + n = 7

=> Falso

m + n = 6 + (-1)

m + n = 6 - 1

m + n = 5

(d) n – m = 8

=> Falso

n - m = -1 - 6

n - m = -7

(e) n : m = 9

=> Falso

n : m = -1 : 6

n : m = -0,1666...

Letra B