Question

Se o número complexo z= 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0, então calcule o valor de a

Answer 1

Boa tarde 290998!

Antes da solução do exercício vamos escrever alguma propriedades de i.

$i ^{0}=1$

$i^{1} =i$

$i ^{2}=-1$

$i ^{3}=i ^{2}.i=-i$

$i ^{4}=(i ^{2})^{2}=(-1)^{2}=1$

$i ^{5}=i ^{4} .i=1.i=i$


Note  que os valores das potências de i é uma repetição  no ciclo 
1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do expoente zero. 

Com base nessas informações e os padões de repetição apresentada no ciclo,agora podemos resolver o problema.

Dados do problema.
$z=1+i$
$x ^{10}+a=0$

Vamos substituir z no lugar de x ficando assim.

$(1+i) ^{10}+a=0$

Vamos reescrever a potencia de 10 para ver se tem alguma propriedade citada acima que podemos usar.

$[(1+i) ^{10}+a=0$

$[(1+i) ^{2}] ^{5} +a=0$

Vamos agora resolver 1+i  elevado ao quadrado.

$[(1+2i+i ^{2}] ^{5} +a=0$

$[(1+2i-1] ^{5} +a=0$

$[(1-1+2i] ^{5} +a=0$

$[2i] ^{5} +a=0$

$32i +a=0$

$a=-32i$

Dica: É bom ter em mente esses padrões apresentados pelas potencias de i,o que com certeza sempre vai aparecer quando envolver números  complexos.

Boa tarde
Bons estudos