Question

Se o número 8^n * 6^2 tem 90 divisores naturais, qual o valor de n?

Preciso da explicação...

Answer 1

Um número inteiro x cuja decomposição em fatores primos é dada por

$x=\pm~p_{1}^{\alpha_{1}}\cdot p_{2}^{\alpha_{2}}\cdot...\cdot p_{n}^{\alpha_{n}}$

($p_{1},~p_{2},...,p_{n}$ números primos)

possui k divisores positivos, onde k é dado por

$k=(\alpha_{1}+1)\cdot(\alpha_{2}+1)\cdot...\cdot(\alpha_{n}+1)$
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Seja x o número em questão. Então, temos que

$x=8^{n}\cdot6^{2}$

Vamos escrever 8 e 6 em função de números primos:

$x=(2^{3})^{n}\cdot(2\cdot3)^{2}\\\\x=2^{3n}\cdot2^{2}\cdot3^{2}\\\\\boxed{\boxed{x=2^{3n+2}\cdot3^{2}}}$

Daí, a expressão que denota o número de divisores positivos de x é

$d=(3n+2+1)\cdot(2+1)\\\\d=(3n+3)\cdot3\\\\d=3\cdot(n+1)\cdot3\\\\\boxed{\boxed{d=9\cdot(n+1)}}$

Como foi dado que d = 90:

$9\cdot(n+1)=90\\\\n+1=\frac{90}{9}\\\\n+1=10\\\\n=10-1\\\\\boxed{\boxed{n=9}}$