Matemática, perguntado por welintonpalczuck, 8 meses atrás

Se o grau de P for estritamente menor que o grau do denominador (grau de P < 2), então, com x diferente de α ou β, podemos escrever
$\frac{p(x)}{(x-\alpha).(x-\beta) } = \frac{A}{(x-\alpha )} + \frac{B}{(x-\beta) }$

e assim,
$\int\limits^a_b {\frac{p(x)}{(x-\alpha).(x-\beta) } } dx= A . ln |x-\alpha | +B . ln |x-\beta |+k$

Com base nestas informações temos:
$f(x) = \int\limits^a_b {\frac{5x+1}{(x-1).(x+2)} } dx= A . ln |x-1| +B . ln|x+2|+k$

Analise os itens abaixo:

I. O valor de A é um número primo.

II. O valor de B é múltiplo de 3.

III. Se f(2) = 0 então k = -3.ln(4).

É correto o que se afirma em:

alternativas

1- l apenas

2- ll apenas

3- l e lll apenas

4- ll e lll apenas

5- l,ll e lll

Soluções para a tarefa

Respondido por Nefertitii

A questão nos fornece a seguinte expressão: $\frac{p(x)}{(x-\alpha).(x-\beta) } = \frac{A}{(x-\alpha )} + \frac{B}{(x-\beta) }\\$ , sendo que "x" é diferente de $\alpha \:e\:\beta$ , a questão também nos fornece que essa expressão sendo integrada é igual a: $\int\limits^a_b {\frac{p(x)}{(x-\alpha).(x-\beta) } } dx= A . ln |x-\alpha | +B . ln |x-\beta |+k\\$ . A partir dessas informações e da seguinte expressão: $f(x) = \int\limits^a_b {\frac{5x+1}{(x-1).(x+2)} } dx= A . ln |x-1| +B . ln|x+2|+k\\$ , a questão nos pede para julgar alguns itens.

Vamos começar reescrevendo a expressão fornecida:

$f(x) = \int\limits^a_b {\frac{5x+1}{(x-1).(x+2)} } dx= A . ln |x-1| +B . ln|x+2|+k \\ </p><p>$

Para melhorar o entendimento, é bom esquecer aquele resultado fornecido e trabalhar apenas com a integral:

$f(x) = \int\limits^a_b {\frac{5x+1}{(x-1).(x+2)} } dx \\$

Vamos resolver essa integral através de frações parciais, ou seja, podemos reescrever o integrando dessa forma:

$\frac{5x + 1}{(x - 1).(x + 2)} = \frac{A}{x - 1} + \frac{B}{ x + 2} \\$

Tirando o MMC da segunda parte da igualdade, iremos obter uma nova expressão:

$\frac{5x + 1}{ \cancel{(x - 1).(x + 2)}} = \frac{A.(x + 2) +B.(x - 1)}{ \cancel{(x - 1).(x + 2)}} \\ 5x + 1 = A.(x + 2) + B.(x - 1) \\ 5x + 1 = Ax + 2A + Bx - B \: \: \: \: \: \\ 5x + 1 = x.(A + B) + 2A - B \: \: \:$

Agora vamos igualar os termos em "x" e os termos sem "x", então:

$\begin{cases}A + B= 5 \\ 2 A - B = 1 \end{cases}$

Para finalizar, basta resolver o sistema:

$A + 2A + B - B = 5 + 1 \\ \begin{cases} 3A = 6 \\ A = \frac{6}{3} \\ A = 2 \end{cases} \begin{cases}A + B = 5 \\2 + B = 5 \\ B = 3\end{cases}$

Vamos continuar resolvendo a integral. Sabemos os valores de A e B, logo podemos reescrever a mesma da seguinte maneira:

$f(x) = \int\limits^a_b {\frac{5x+1}{(x-1).(x+2)} } dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f(x) = \int\limits^a_b \frac{ A}{(x - 1)} + \frac{B}{( x + 2)} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f(x) = \int\limits^a_b \frac{ 2}{(x - 1)} + \frac{3}{( x + 2)} dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ f(x) = \int\limits^a_b \frac{2}{x - 1} dx + \int\limits^a_b \frac{3}{x + 2} dx \ \: \: \: \: \: \\ \\ f(x) = 2\int\limits^a_b \frac{1}{x - 1}dx + 3\int\limits^a_b \frac{1}{x + 2} dx \\ \\ \boxed{ \boxed{ f(x) = 2. \ln |x - 1| + 3 \ln |x + 2| + k}}$

Para finalizar de fato a questão, vamos julgar os itens:

I. O valor de A é um número primo. (errada)

R: Pelos nossos cálculos, o valor de A é um número par, sendo mais preciso, o valor é 2.

II. O valor de B é múltiplo de 3. (correta)

R: Pelos nossos cálculos, o valor de B é igual a 3, ou seja, é sim um número múltiplo de 3 (3,6,9,12,15,17.....).

III. Se f(2) = 0 então k = -3.ln(4). (correta)

Vamos substituir o valor de "x" por 2 e igualar a expressão à 0:

$f(2) = 0 \\ \\ f(x) = 2. \ln |x - 1| + 3 \ln |x + 2| + k \\ f(2) = 2. \ln |2 - 1| + 3 \ln |2+2 | + k \\ 2. \ln |1 | + 3 \ln |4| + k = 0 \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$