Question

Se o gráfico representativo de uma função do 2 grau é uma parábola, então a parábola que passa pelo ponto (-2, 0), e cujo vértice situa-se no ponto (1, 3), representa a função:

a) f(x)= -x^2 + 2x + 8

b) f(x)= -3x^2 + 6x + 24

c) f(x)= -x^2/3 + 2x/3 + 8/3

d) f(x)= x^2 + 2x + 8

Answer 1

As coordenadas do vértice da função são dadas por duas fórmulas:

$\displaystyle V \left( \frac{-b}{2a} ; \frac{-\Delta}{4a} \right)$

O vértice é (1, 3), então eu posso montar as igualdades abaixo:

1ª igualdade:

$\displaystyle \frac{-b}{2a}=1$

$\displaystyle -b=2a$

$\displaystyle b=-2a \text{ \bfseries (I)}$

2ª igualdade:

$\displaystyle \frac{-\Delta}{4a}=3$

$\displaystyle \frac{-b^2+4ac}{4a}=3$

$\displaystyle -b^2+4ac=12a \text{ \bfseries (II)}$

Agora eu vou usar o ponto (-2, 0) numa equação de 2º grau genérica:

a(-2)² + b(-2) + c = 0

4a - 2b + c = 0 (III)

Feito isso, vou começar a resolver. Primeiro vou substituir (I) em (III):

4a - 2(-2a) + c = 0

4a + 4a + c = 0

c = -8a (IV)

Agora vou substituir (I) e (IV) em (II):

$\displaystyle -(-2a)^2+4a(-8a)=12a$

$\displaystyle -4a^2-32a^2=12a$

$\displaystyle -12a^2 - 36a^2=0$

$\displaystyle 12a^2 + 36a^2=0$

Eu posso fatorar a equação acima para achar suas raízes:

12a(1 + 3a) = 0

a = 0 (esse resultado não é válido aqui, pois se assim fosse não haveria uma equação de 2º grau)

ou

1 + 3a = 0
a = -1/3 (resultado válido)

Com o valor de *a* em mãos, posso encontrar os outros coeficientes:

b = -2a

b = -2(-1/3)

b = 2/3

e

c = -8a

c = -8(-1/3)

c = 8/3

Veja, agora podemos finalmente montar a equação:

$\displaystyle \fbox{y=- \frac{2}{3}x^2 + \frac{2}{3}x + \frac{8}{3}}$

LETRA C.