Question

Se o conjunto {(x, y),(a,b)} ⊂ R 2 é linearmente independente, então o conjunto {(0, x, y),(0,a,b)} ⊂ R 3 também é linearmente independente. (a) Falso. (b) Verdadeiro.

Answer 1

Resposta:

(b) Verdadeiro.

Explicação passo-a-passo:

Vamos considerar a seguinte equação, onde $m,n$ são escalares:

$m(x,y)+n(a,b)=(0,0)$

$(mx+na,my+nb)=(0,0)$

Tirando daí o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.$

Sendo $\{(x,y),(a,b)\}$ LI, por definição, a única solução desse sistema é $m=n=0$. Peguemos agora a seguinte equação:

$m(0,x,y)+n(0,a,b)=(0,0,0)$

$(0,mx+na,my+nb)=(0,0,0)$

Tirando daí o seguinte sistema:

$\left\{\begin{matrix}0=0\\mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.$

A 1º equação sempre é verdadeira em qualquer circunstância, então podemos desconsiderá-la, ficando assim com o sistema:

$\left\{\begin{matrix}mx+na=0\\my+nb=0\end{matrix}\right.$

Como já foi visto, a única solução dele é $m=n=0$, logo a solução de $m(0,x,y)+n(0,a,b)=(0,0,0)$ é também apenas $m=n=0$, concluindo assim que $\{(0,x,y),(0,a,b)\}$ também é LI.