Question

Se o conjunto solução da inequação x-1/x^2+ax+b =>0 em Reais é {x ∈ reais tal que
-1 < x <= 1 ou x > 3 então a+b é igual a:
a)2
b)-5
c)4
d)-3

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Yanricardo, que a resolução parece mais ou menos simples.

Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: se o conjunto-solução da inequação (x-1)/(x²+ax+b) ≥ 0 é dado por:

S = {x ∈ R | -1 < x ≤ 1, ou x > 3} , pede-se o valor da soma "a + b".

ii) Agora note: se "x" não pode ser igual a (-1) nem igual a (3), mas pode ser menor ou igual a (1) , então é porque as raízes da equação do denominador (x²+ax+b) são "-1" e "3", pois toda raiz zera a equação da qual ela é raiz. E não existe divisão por "zero". Então é por isso que há essas duas restrições de "x" nunca poder ser igual a "-1" nem a "3" só poderá ser maior. No entanto "x' poderá ser igual a "1", pois "1" é raiz do numerador e o numerador poderá ser zero. Quem NUNCA poderá ser zero é o denominador porque não há divisão por zero. Note que, como já vimos, conjunto-solução é este:

-1 < x ≤ 1 ou x > 3 .

iii) Logo, se as raízes da equação do denominador [x² + ax + b] são "-1" e "3", então vamos expressar a equação dada em função de suas raízes.

A propósito, note que uma equação da forma x² + ax + b, com raízes iguais a x' e a x'', ela poderá ser expressa em função de suas raízes da seguinte forma:

x² + ax + b = (x-x')*(x-x'')

Assim, tendo a relação acima como parâmetro, então a equação do denominador da inequação [x²+ax+b], como tem raízes iguais a "-1" e a "3", então ela será expressa da seguinte forma em função de suas raízes:

x² + ax + b = (x-(-1))*(x-3) ----- desenvolvendo, teremos:

x² + ax + b = (x+1)*(x-3) ----- continuando o desenvolvimento, temos:

x² + ax + b = x² -3x+x - 3 ---- reduzindo os termos semelhantes:

x² + ax + = x² - 2x - 3

Assim, como você está vendo ai em cima, temos que a = -2 e b = - 3. Logo a soma pedida de "a+b" será:

a + b = -2 + (-3) ---- desenvolvendo, teremos:

a + b = - 2 - 3 ------- como "-2-3 = -5", teremos:

a + b = - 5 <---- Esta é a resposta. Opção "b".

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.