Question

Se no universo R , a equaçao x^5 - x^4 - 5x^3 + x^2 + 8x + 4 = 0 admite a raiz - 1, com multiplicidade 3, qual a soma das demais raizes ? Alguém por favor pode me ajudar ????

Answer 1

a) -7²
b) (-7)²
c) -2^4
d)(-2)^4
e) -4³
f) (-4)³
g) -(+2)^5
h) -(-3)^4
i) (1/2)^-3

Answer 2

Vamos lá.

Veja, Julianamoreira, que se a equação x⁵ - x⁴ - 5x³ + x² + 8x + 4 = 0 admite a raiz "-1", com multiplicidade "3", então a função dada será divisível (ou seja, deixa resto zero) por (x-(-1))*(x-(-1))*(x-(-1)) =  (x+1)*(x+1)*(x+1) = (x+1)³ = x³+3x²+3x+1.
Então vamos fazer a divisão pelo método tradicional:

x⁵ - x⁴ - 5x³ + x² + 8x + 4 |_x³+3x²+3x+1_ <--- divisor
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .  x² - 4x + 4 <------ quociente
-x⁵-3x⁴-3x³ - x²
-------------------------------
0-4x⁴ - 8x³ + 0 + 8x + 4
+4x⁴+12x³+12x²+4x
-------------------------------
...0 + 4x³+12x²+12x + 4
......- 4x³-12x² - 12x - 4
---------------------------------
.........0.....0........0.....0 <---- Resto. Veja que tinha que ser zero mesmo, pois a função dada é divisível pelo divisor.

Assim, veja que ficamos com o quociente Q(x) = x² - 4x + 4

Como já temos que x = - 1 é uma raiz de multiplicidade "3", então já temos que x'=x''=x'''=-1. Agora vamos encontrar as demais raízes utilizando o quociente encontrado, que é: Q(x) = x² - 4x + 4. Para encontrar as demais raízes, vamos igualar Q(x) a zero, ficando assim:

x² - 4x + 4 = 0 ----- se você aplicar Bháskara, encontrará as seguintes raízes:

x'''' = x''''' = 2 , ou seja, teremos mais duas raízes reais e ambas iguais a "2".

Assim, a soma das demais raízes será:

x'''' + x''''' = 2 + 2 = 4 <----- Esta é a resposta. Esta é a soma pedida das demais raízes. Ou seja, as demais raízes somam "4".

Veja uma observação importante: também poderíamos resolver a questão por meio de outro método (até mais prático do que o que acabamos de utilizar). Note  que uma equação da forma f(x) = ax⁵+bx⁴+cx³+dx²+ex+f, com raízes iguais a x', x'', x''', x'''' e x''''', teria a soma das raízes dada da seguinte forma:

x'+x''+x'''+x''''+x''''' = -b/a

Tendo, portanto, a relação acima como parâmetro, então equação da sua questão, que é: f(x) = x⁵ - x⁴ - 5x³ + x² + 8x + 4 , teria a soma de todas as suas 5 raízes encontradas da seguinte forma (note que os coeficientes da sua questão são: a = 1 (é o coeficiente de x⁵); b = -1 (é o coeficiente de x⁴); c = -5 (é o coeficiente de x³); d = 1 (é o coeficiente de x²); e = 8 (é o coeficiente de x); e f = 4 (é o coeficiente do termo independente):

x'+x''+x'''+x''''+x''''' = -(-1)/1
x'+x''+x'''+x''''+x''''' = 1/1
x'+x''+x'''+x''''+x''''' = 1

Ora, mas como já sabemos que a raiz "-1" que tem multiplicidade "3" tem a soma igual a: -1+(-1)+(-1) = - 1 - 1 - 1 = - 3 e que a soma de todas as 5 raízes é igual a "1" , pois acabamos de ver pela fórmula aí em cima, então teríamos isto:

-3 + x'''' + x''''' = 1 ----- passando "-3" para o 2º membro, teremos:
x'''' + x''''' = 1+3
x'''' + x''''' = 4 <---- veja que a resposta é a mesma, quer se resolva pelo primeiro método que utilizamos, quer por este método (que é bem mais prático, não acha?).


É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.