Question

Se N = $\frac{ \sqrt{ \sqrt{5}+2 }+ \sqrt{ \sqrt{5}-2 } }{ \sqrt{ \sqrt{5}+1 } } - \sqrt{3 - 2 \sqrt{2} }$, então N é igual a:
a) 1
b) $2 \sqrt{2} -1$
c) $\frac{ \sqrt{5} }{2}$
d) $\sqrt{ \frac{5}{2} }$
e) $\frac{5}{2}$

Answer 1

Questão um pouco chatinha, você tem que manipular muita coisa pra sumir as raízes.
$\dfrac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+1}}-\sqrt{3-2\sqrt{2}}\\\\\\ 3 = 2+1 \rightarrow Pulo~do~gato\\ 3= (\sqrt{2})^2 +1\\\\ \dfrac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+1}}-\sqrt{(\sqrt{2})^2-2\sqrt{2}+1}$

Bom agora precisamos lembrar de algo: (a-b)² = a²-2ab+b²
Precisamos fazer o processo inverso disso dentro da raiz da direita.
$\dfrac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+1}}-\sqrt{(\sqrt2-1)^2}\\\\\\ \dfrac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+1}}-\sqrt2+1$

Ainda continua uma expressão bem complicada de mexer, vamos tentar manipular a expressão que contém o quociente.
$\dfrac{\sqrt{\sqrt5+2}+\sqrt{\sqrt5-2}}{\sqrt{\sqrt5+1}}= \alpha \\\\ \alpha = \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt5+1}}+ \sqrt{\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt5+1}}\\\\ \alpha ^2=\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt5+1}+2\sqrt{\dfrac{\sqrt{5}+2}{\sqrt5+1}*\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt5+1}}+\dfrac{\sqrt{5}-2}{\sqrt5+1}\\\\ \alpha ^2= \dfrac{\sqrt{5}+\not2+\sqrt{5}-\not2}{\sqrt{5}+1}+2 \sqrt{\dfrac{(\sqrt{5})^2-2^2}{(\sqrt{5+1)^2}}} \\\\ \alpha ^2=\dfrac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}+1}+\dfrac{2}{\sqrt{5}+1}$
$\alpha ^2=\dfrac{2\sqrt{5}+2}{\sqrt{5}+1}\\\\ \alpha ^2=2\dfrac{\sqrt{5}+1}{\sqrt{5}+1}\\\\ \alpha ^2=2\\ \alpha = \sqrt{2}$

Depois de toda essa manipulação, vamos substituir o valor de α na expressão do começo.
$= \alpha - \sqrt{2} +1\\ = \sqrt{2}- \sqrt{2}+1\\ \boxed{ =1}}$

Ou seja, resposta é a letra A.