Question

Se n é um número inteiro, então a quantidade de números racionais da forma 2n/3n+15, que são estritamente menores que 7/13, é:

a) 21
b) 25
c) 20
d) infinita
e) 27

Answer 1

Resolver a inequação

    $\mathsf{\dfrac{2n}{3n+15}<\dfrac{7}{13}}$

com $\mathsf{n\in\mathbb{Z}.}$

Como o denominador não pode se anular, temos a seguinte restrição:

    $\mathsf{3n+15\ne 0\quad\Longrightarrow\quad n\ne -5.}$

Passe todos os termos para o mesmo lado da desigualdade:

    $\mathsf{\dfrac{2n}{3n+15}-\dfrac{7}{13}<0}$

Reduza as frações ao mesmo denominador comum:

    $\mathsf{\dfrac{2n\cdot 13-(3n+15)\cdot 7}{(3n+15)\cdot 13}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{26n-21n-105}{(3n+15)\cdot 13}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5n-105}{3(n+5)\cdot 13}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5\cdot (n-21)}{39\cdot (n+5)}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{5}{39}\cdot \dfrac{n-21}{n+5}<0}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n-21}{n+5}<0\qquad (i)}$

Agora temos uma inequação-quociente para resolver. Vamos fazer o quadro de sinais:

    $\large\begin{array}{cl} \mathsf{n-21}&\mathsf{\qquad\overset{---------------}{\textsf{---------}\!\!\!\underset{-5}{\circ}\!\!\!\textsf{------------------}}\!\!\!\underset{21}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\ \mathsf{n+5}&\mathsf{\qquad\overset{----}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-5}{\overset{0}{\circ}}\!\!\!\overset{+++++++++++++++}{\textsf{------------------}\!\!\!\underset{21}{\bullet}\!\!\!\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{n-21}{n+5}}&\mathsf{\qquad\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\underset{-5}{\circ}\!\!\!\overset{---------}{\textsf{------------------}}\!\!\!\underset{21}{\overset{0}{\bullet}}\!\!\!\overset{++++}{\textsf{---------}}\!\!\!\footnotesize\begin{array}{l}\blacktriangleright\end{array}}\end{array}$

Como queremos que o quociente seja menor que zero, o intervalo de interesse é

    $\mathsf{-5<n<21.}$

Como n é inteiro, o conjunto de soluções para a inequação é

    $\mathsf{S=\{-4,\,-3,\,-2,\,-1,\,0,\,1,\,2,\,\ldots,\,19,\,20\}}$

Para cada n neste conjunto, sempre obtemos números na forma

    $\mathsf{\dfrac{2n}{3n+15}}$

diferentes, sem que nenhum se repita. Você pode verificar isso facilmente observando que a função

    $\mathsf{f(n)=\dfrac{2n}{3n+15}}$

é injetora, uma relação de um para um.

Logo, a quantidade de números procurada é a mesma quantidade de elementos do conjunto de soluções, que é

    $\mathsf{20-(-4)+1}\\\\ \mathsf{=20+4+1}$

    $\mathsf{=25~elementos\quad\longleftarrow\quad resposta:~alternativa~b).}$

Bons estudos! :-)

Answer 2

Resposta:

Eu resolvi por inequação quociente:

(2n)/(3n+15) < 7/13

(2n)/(3n+15) - 7/13 < 0

(5n - 105)/(39n + 195) < 0

Tirando as raízes das equações:

5n - 105 = 0

5n = 105

n = 21

39n + 195 = 0

39n = -195

n = -5

Fazendo o estudo dos sinais, chega-se que:

S = {n ∈ ℤ | -5 < n ≤ 21}

De -4 a 21 temos 25 números inteiros.

Resposta: B