Question

Se n é impar, mostre que n^2-1 é divisivel por 8.

Answer 1

Resposta:

Explicação passo-a-passo:

Fazendo uma indução em n, teremos que:

* Quando n = 1 (elemento mínimo):

$\\ \displaystyle \mathsf{8 | \, 1^2 - 1 =} \\\\ \mathsf{8 | \, 0}$

Verdadeiro!

* Por hipótese, admitimos que a afirmativa seja verdadeira para n = k. Daí,

$\\ \displaystyle \mathsf{8 | \, k^2 - 1} \\\\ \mathsf{\Rightarrow \exists \, q \in \mathbb{Z}_+; k^2 - 1 = 8q }$

Com efeito, pelo Princípio da Indução Finita (PIF), a afirmativa será, também, verdadeira para n = k + 2 (próximo número ímpar). Vejamos:

$\\ \displaystyle \mathsf{8 | \, (k + 2)^2 - 1 =} \\\\ \mathsf{8 | \, k^2 + 4k + 4 - 1 =} \\\\ \mathsf{8 | (k^2 - 1) + 4k + 4 =} \\\\ \mathsf{8 | \, 8q + 4k + 4} \\\\ \mathsf{8 | \, 4 \cdot (2q + \underbrace{\mathsf{k + 1}}_{par})}$

Na hipótese indutiva, tomamos k como sendo ímpar. Com efeito, k + 1 é par. Com isso, podemos afirmar que $\mathtt{\Rightarrow \exists \, q' \in \mathbb{Z}_+; k + 1 = 2q'}$.

Por conseguinte,

$\\ \displaystyle \mathsf{8 | \, 4 \cdot (2q + 2q')} \\\\ \mathsf{8 | \, 4 \cdot 2 \cdot (q + q')} \\\\ \mathsf{8 | \, 8 \cdot \underbrace{\mathsf{(q + q')}}_{\mathsf{\in \mathbb{Z}_+}}}$

Como queríamos demonstrar.