Question

Se Mônica quiser organizar 9 livros em sua estante, de quantas maneiras ela pode fazê-lo?

a) Escolha o tipo de situação que esse problema representa: permutação, arranjo
ou combinação.

b) Escreva a expressão que permite encontrar o resultado pedido e em seguida calcule.



5 — Em um campeonato de futebol participam 10 times. Se na primeira rodada todos os times devem
enfrentar-se entre si, quantas partidas deve ter essa rodada?​

Answer 1

Resposta:

a) Permutação

b) 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880

ou

Pn=n!

P9= 9!

P9= 9.8.7.6.5.4.3.2.1 = 362.880

Explicação passo-a-passo:

Answer 2

(1)

 a) Permutação

 b) Mônica pode organizar seus 9 livros de 362880 formas.

(2) Haverão 45 partidas nessa rodada.

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Problemas como o descrito são estudados em combinatória, área da matemática responsável por estudar técnicas e métodos de contagem. Entre alguns problemas clássicos relacionados, estão os que envolvem permutações, arranjos e combinações.

Buscando analisar cada questão proposta, a resolução será dada em etapas.

(1)

    (a) Um dos problemas mais básicos de contagem está associado a determinar o número de possibilidades de colocar $n$ objetos distintos em fila. No caso de Mônica, tem-se uma fila de livros. Este problema é conhecido como permutação.

    (b) De fato, tendo $n$ objetos, teremos possibilidades para ocupar o primeiro lugar da fila, $n-1$ para ocupar o segundo, $n-2$ para ocupar o terceiro, e assim segue.

   Com isso, usando das ideias relacionadas ao princípio multiplicativo, o número de maneiras de colocar  $n$ objetos distintos em fila é dado por:

$n \cdot (n-1) \cdot (n-2) \cdot \ldots \cdot 2 \cdot 1 = n!$

Como são 9 livros,

$9 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6 \cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1 = 362880$

Dessa forma, Mônica pode organizar seus 9 livros de 362880 formas.

$\dotfill$

(2) Nesse caso, a tomada é diferente. Aqui o objetivo é calcular quantos são os subconjuntos de k elementos dentre um grupo de n elementos. Problemas como este são classificados como problemas de combinação. Nesse caso, as combinações simples são calculadas com a seguinte expressão:

$C_{k}^{n}=\frac{n!}{(n-k)! k!}$

É importante observar que os grupos aqui formados só se diferenciam pela natureza dos seus elementos e não pela ordem.

Como cada partida envolvem dois times, $k=2$ e $n=10$. Logo:

$C_{2}^{10}=\frac{10!}{(10-2)! 2!}=\frac{10!}{(8)! 2!}=\frac{10\cdot 9 \cdot 8!}{(8)! 2!}=\frac{90}{2} =45$

Com isso, haverão 45 partidas nessa rodada.

$\dotfill$

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