Question

Se m, n e t, são números reais tais que 2mx² + 2n(x + 1) + 2t(x + 2) = (x + 3)² para todo x real, então o valor de t + m - n é:

Answer 1

➜ Resolvendo um sistema de equações após analisar os coeficientes da expressão dada, é possível determinar que t + m - n vale 1/2.

Desenvolvendo a expressão dada, encontramos

$\Large{ \begin{array}{l}2mx^{2} +2nx+2n+2tx+4t=x^{2} +6x+9\\\\2mx^{2} +( 2n+2t) x+2n+4t=x^{2} +6x+9\end{array}}$

Comparando os coeficientes, montamos o seguinte sistema de equações:

$\large{\begin{cases}2m=1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ( 1)\\2n+2t=6\ \ \ \ \ ( 2)\\2n+4t=9\ \ \ \ \ ( 3)\end{cases}}$

De (1), m = 1/2

Multiplicando a equação (2) por -1, e somando com a equação (3),

$\large{ \begin{array}{l}-2n-2t+2n+4t=-6+9\\\\2t=3\\\\t=\frac{3}{2}\end{array}}$

Substituindo em (2),

$\large{ \begin{array}{l}2n+2\left(\frac{3}{2}\right) =6\\\\2n+3=6\\\\2n=3\\\\n=\frac{3}{2}\end{array}}$

Portanto,

$\Large{t+m-n=\frac{3}{2} +\frac{1}{2} -\frac{3}{2} =\frac{1}{2}}$

∴ O valor de  t + m - n é 1/2__✍️

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