Question

Se M é o ponto médio do segmento AB e P é o ponto médio do segmento OM, determine a equação da circunferência?

Answer 1

$M(xM,yM)$

$xM = \frac{(xA + xB)}{2} = \frac{(0+4)}{2} = 2$
$yM = \frac{ (yA + yB)}{2} = \frac{(4+0)}{2} = 2$

$M(2,2)$

$dOM = \sqrt{((xM-xO)^2+(yM-yO)^2)} = \sqrt{((2-0)^2+(2-0)^2)} = \sqrt{(4+4)} = \sqrt{8} = 2 \sqrt{2}$

$P(xP,yP)$

$xP = \frac{(xO + xM)}{2} = \frac{(0 + 2)}{2} = 1$
$yP = \frac{(yO + yM)}{2} = \frac{(0+2)}{2} = 1$

$P(1,1)$

$R = \frac{dOM}{2} = \sqrt{2}$

$(x-xP)^2+(y-yP)^2=R^2$
$(x-1)^2 + (y-1)^2 =( \sqrt{2})^2$

$(x-1)^2 + (y-1)^2 = 2$

Answer 2

A equação da circunferência é (x - 1)² + (y - 1)² = 2.

Vamos considerar que M = (x',y') e P = (x",y").

De acordo com o gráfico, temos que A = (0,4) e B = (4,0).

O ponto médio é igual a média aritmética das coordenadas correspondentes dos extremos.

Sendo assim, temos que:

2M = A + B

2(x',y') = (0,4) + (4,0)

2(x',y') = (4,4)

(x',y') = (2,2)

ou seja, M = (2,2).

Da mesma forma, podemos dizer que o ponto P é igual a:

2P = M + O

2(x",y") = (2,2) + (0,0)

2(x",y") = (2,2)

(x",y") = (1,1).

Logo, o centro da circunferência é P = (1,1).

A distância entre P e M nos dará o raio da circunferência:

r² = (1 - 2)² + (1 - 2)²

r² = (-1)² + (-1)²

r² = 1 + 1

r² = 2.

Portanto, a equação da circunferência é: (x - 1)² + (y - 1)² = 2.

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