Se m e n são tais que o polinômio: (m.n – 2) x3 + (m2 – n
2 – 3)x2 + ( m + n – 3)x + 2m -5n + 1 é
identicamente nulo, qual o valor de m2 + n2 ?
Soluções para a tarefa
Se P(x) ≡ 0, então todos os seus coeficientes devem ser nulos.
Como: P(x) = (m.n - 2)x³ + (m² - n² - 3)x² + (m + n - 3)x + (2m - 5n + 1)
Segue que:
mn - 2 = 0 (I)
m² - n² - 3 = 0 (II)
m + n - 3 = 0 (III)
2m - 5n + 1 = 0 (IV)
De III, temos que:
m + n - 3 = 0
m + n = 3
(m + n)² = 3²
(m + n)² = 9
m² + 2mn + n² = 9
m² + n² = 9 - 2mn (V)
De (I), obtemos:
mn - 2 = 0
mn = 2 (VI)
Substituindo VI em V:
m² + n² = 9 - 2mn
m² + n² = 9 - 2(2)
m² + n² = 9 - 4
m² + n² = 5
Vamos verificar que não existe outra solução para m² + n². Para tanto, usemos o sistema formado por III e IV.
m + n - 3 = 0 (III)
2m - 5n + 1 = 0 (IV)
De III:
m + n - 3 = 0
m + n = 3
2m + 2n = 6 (VII)
Subtraindo IV de VII:
2m + 2n = 6
(2m + 2n) - (2m - 5n + 1) = (6) - (0)
7n - 1 = 6
n = 1
Substituindo em III:
m + n - 3 = 0
m + 1 - 3 = 0
m = 2
Note que o par m = 2 e n = 1 satisfaz as quatro equações.
(I) mn - 2 = 0 → (2)(1) - 2 = 0
(II) m² - n² - 3 = 0 → (2)² - (1)² - 3 = 0
(III) m + n - 3 = 0 → (2) + (1) - 3 = 0
(IV) 2m - 5n + 1 = 0 → 2(2) - 5(1) + 1 = 0
De fato: m² + n² = (2)² + (1)² = 5
Qualquer dúvida, comente! Bons estudos!
Resposta:
m² + n² = 5
Explicação passo-a-passo:
Para um polinômio ser nulo, seus coeficientes precisam ser nulos. Uma forma rápida de se fazer essa questão é:
Sabendo que P(x) = (mn-2)x³ + (m²-n²-3)x² + (m+n-3)x + 2m-5n+1
Logo,
mn-2 = 0 ⇒ mn = 2
m²-n²- 3 ⇒ m²-n² =3
m + n - 3 = 0 ⇒ m + n = 3
2m-5n+1 = 0 ⇒ 2m-5n = -1
Você já terá artifícios para resolver sem fazer sistemas:
(m+n)² = m² + n² + 2mn
(3)² = m² + n² + 2*2
m² + n² = 9-4
m² + n² = 5