Question

Se m e n são raízes da equação X² - 9x + 20 = 0, determine, o valor da expressão mn (m + n).

Answer 1

Para resolver esta questão, não precisamos resolver a equação.

Para qualquer equação do segundo grau na forma

$ax^{2}+bx+c=0\;\;\;\;(a \neq 0)$


$\bullet\;\;$ a soma das raízes sempre será igual a $-\dfrac{b}{a};$

$\bullet\;\;$ o produto das raízes sempre será igual a $\dfrac{c}{a}.$


Então, para a equação

$x^{2}-9x+20=0\;\;\;\Rightarrow\;\;\left\{ \begin{array}{l} a=1\\b=-9\\c=20 \end{array} \right.$


Sendo $m$ e $n$ as raízes, temos que

$\bullet\;\; m+n=-\dfrac{b}{a}\\ \\ \\ m+n=-\dfrac{(-9)}{1}\\ \\ \\ m+n=9$


$\bullet\;\; mn=\dfrac{c}{a}\\ \\ \\mn=\dfrac{20}{1}\\ \\ \\mn=20$


Então,

$mn(m+n)=20\cdot 9=180$

Answer 2

$y=a x^{2} +bx+c \\ a=1 \\ b=-9 \\ c=20 \\ \\ disc=b ^{2}-4.a.c=(-9) ^{2}-4.1.20=81-80=1 \\ \\ x _{1}= \frac{-b- \sqrt{discriminante} }{2a}= \frac{9-1}{2}=4 \\ \\ x _{2}= \frac{-b+ \sqrt{discriminante} }{2a}= \frac{9+1}{2}=5 \\ \\ x_{1}=m=4 \\ x_{2}=n=5 \\ \\ m.n(m+n)=5.4.(5+4)=20.(5+4)=180$