Question

se m e n sao as raizes da equçao x2 menos 4x mais 1 igual a zero entao (m mais 7 (n mais 7) vale? me ajudeeem por favor!

Answer 1

Vamos lá.

Veja, JúniorGaldino, que a resolução é simples.
Pede-se o valor de (m+7)*(n+7), sabendo-se que "m" e "n" são as raízes da função abaixo:

x² - 4x + 1 = 0 ---- para encontrar as raízes, vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b ± √(Δ)]/2a

Note que os coeficientes da função da sua questão, bem como o Δ são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -4 --- (é o coeficiente de x)
c = 1 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-4)² - 4*1*1 = 16 - 4 = 12
Assim, fazendo as devidas substituições na fórmula de Bháskara, teremos:

x = [-(-4) ± √(12)]/2*1
x = [4 ± √(12)]/2 ---- note que 12 = 2².3. Assim, substituindo, ficaremos com:
x = [4 ± √(2².3)]/2 --- note que o "2" , por estar ao quadrado, sairá de dentro da raiz quadrada, com o que ficaremos assim:

x = [4 ± 2√(3)]/2 ---- agora vamos simplificar numerador e denominador por "2", com o que ficaremos da seguinte forma:

x = [2 ± √(3)] ---- então a partir daqui você já conclui que:

x' = 2 - √(3)
x'' = 2 + √(3)

Mas como no enunciado da questão está sendo informado que consideremos as raízes como "m" e "n", então teremos que as raízes serão estas:

m = 2 - √(3)
n = 2 + √(3)

Agora vamos ao que está sendo pedido, que é o produto de (m+7)*(n+7). Assim, teremos:

(m+7)*(n+7) = [2-√(3) + 7]*[2+√(3) + 7] --- reduzindo os termos semelhantes:
(m+7)*(n+7) = [9-√(3)]*[9+√(3)] --- efetuando o produto indicado, teremos:
(m+7)*(n+7) = [9*9+9*√(3)-9*√(3)-√(3)*√(3)]
(m+7)*(n+7) = [81 + 9√(3) - 9√(3) - √(3*3)]
(m+7)*(n+7) = [81 + 9√(3) - 9√(3) - √(9)] ---- como √(9) = 3, teremos;
(m+7)*(n+7) = [81 + 9√(3) - 9√(3) - 3] ---- note que "+9√(3) - 9√(3)" se anulam, com o que ficaremos apenas com:

(m+7)*(n+7) = [81 - 3] ----- note que "81-3 = 78". Então:
(m+7)*(n+7) = 78 <--- Esta é a resposta. Este é o produto pedido.

É isso aí.
Deu pra entender bem?

OK?
Adjemir.