Question

Se log7 (x+2) +log7 (x-3)=log6, então é igual a:

a)-3
b)4
c)-3 e 4
d) 3 e -4

Answer 1

Vamos lá.

Veja, Fernando, que a resolução é simples.
Tem-se:

log₇ (x+2) + log₇ (x-3) = log₇ (6)

Veja: primeiro vamos ver quais são as condições de existência da expressão logarítmica acima.
Como só há logaritmos de números positivos (>0), então vamos impor que os logaritmandos (x+2) e (x-3) sejam maiores do que zero. Assim:

x + 2 > 0
x > -2

e

x - 3 > 0
x > 3 .

Assim, entre 'x" ser maior do que "-2" e ser maior do que "3" vai prevalecer a condição de existência de x > 3, pois sendo "x" > 3 já o será maior do que "-2".
Assim, a única condição de existência da expressão logarítmica acima será:

x > 3 ------- Esta é a condição de existência que deveremos observar.

Bem, como já sabemos qual é a condição de existência, então vamos, agora, trabalhar com a expressão dada, que é esta:

log₇ (x+2) + log₇ (x-3) = log₇ (6) ---- vamos transformar a soma em produto, ficando:

log₇ [(x+2)*(x-3)] = log₇ (6)
log₇ [x²-x-6] = log₇ (6) ---- como as bases são iguais, então poderemos igualar os logaritmandos. Então poderemos fazer assim:

x² - x - 6 = 6 ---- passando "6" do 2º para o 1º membro, teremos:
x² - x - 6 - 6 = 0
x² - x - 12 = 0 ----- agora vamos encontrar as raízes desta equação do 2º grau. Vamos aplicar a fórmula de Bháskara, que é esta:

x = [-b+-√(Δ)]/2a

Note que os coeficientes da função acima são estes:

a = 1 --- (é o coeficiente de x²)
b = -1 --- (é o coeficiente de x)
c = -12 --- (é o coeficiente do termo independente)
Δ = b² - 4ac = (-1)² - 4*1*(-12) = 1 + 48 = 49 <--- Este é o valor do delta.

Agora vamos aplicar na fórmula de Bháskara, com o que ficaremos:

x = [-(-1)+-√(49)]/2*1
x = [1+-√(49)]/2 ---- como √(49) = 7, teremos:
x = [1+-7]/2 ----- daqui você já conclui que:

x' = (1-7)/2
x' = (-6)/2
x' = - 3

e

x'' = (1+7)/2
x'' = (8)/2
x'' = 4

Agora note: as raízes são as que encontramos aí em cima. Contudo, só poderemos validar a raiz x = 4, pois, como vimos nas condições de existência, "x" deverá ser MAIOR do que "3". Então descartaremos a raiz "x = -3" e ficaremos apenas com a outra raiz, que atende à condição de existência. Logo:

x = 4 <--- Pronto. Esta é a resposta. Opção "b". 

É isso aí.
Deu pra entender bem agora que aplicamos passo a passo a fórmula de Bháskara?

OK?
Adjemir.