Question

Se log (x + y) = 15 e log (x – y) = 8, calcule o valor de log (x² – y²).

Answer 1

Resposta:

23

Explicação passo-a-passo:

x² - y² é um produto notável e pode ser reescrito assim:

(x+y)(x-y)

Aplicando isso dentro do log:

log(x²-y²) = log((x+y)(x-y))

Agora, vamos usar a propriedade do produto no log:

log(axb) = log(a) + log(b)

log((x+y)(x-y)) = log(x+y) + log(x-y)

Agora, basta usar o que foi dado no enunciado:

log(x+y) + log(x-y) = 15 + 8 = 23

Answer 2

Explicação passo a passo:

Lembre-se que, para quaisquer $x$ e $y$, temos:

$x^2 - y^2=(x - y)(x+y)$

Demonstração:

$(x - y)(x+y)=x(x+y) - y(x+y)\\\\=x^2+xy - yx - y^2\\\\=x^2 - y^2\longrightarrow OK!$

Além disso, sabemos que $\log{(AB)}=\log{(A)}+\log{(B)}$quaisquer $A,B>0$ (não vou demonstrar essa propriedade para não me alongar aqui).

Portanto, temos

$\log{(x^2 - y^2)}=\log((x - y)(x+y))=\log{(x - y)}+\log{(x+y)}\\\\\log{(x^2 - y^2)}=\log{(x - y)}+\log{(x+y)}\\\\\log{(x^2 - y^2)}=8+15$

Basta somar $8+15$, e você terá a resposta :)