Question

Se log x + log x (elevado à 3) + log x (elevado à 5) + ... + log x (elevado à 199) = 10 000, podemos afirmar que x pertence ao intervalo:
a) [9; 11]
b) [7; 9]
c) [5; 7]
d) [3; 5]
e) [1; 3]

Answer 1

Resposta:

$a) [9;11]$

Explicação passo-a-passo:

Aplique a propriedade do logaritmo da potência: $\log a^n = n.\log a$.

$\log x + 3\log x + 5 \log x + \ldots + 199 \log x = 10\,000$

Coloque $\log x$ em evidência:

$\log x(1+3+5+\ldots + 199) = 10\,000$

Entre parênteses você tem a soma dos termos de uma P.A com primeiro termo 1, razão 2 e último termo 199. Pela fórmula do termo geral, encontre $n$:

$a_n = a_1+(n-1)r\\199=1+(n-1)2\\2n-2=198\\2n=200\\n=100$

Encontre a soma dos 100 primeiros termos:

$S_n = \cfrac{(a_1+a_n)n}{2} = \cfrac{(1+199)100}{2}  = 200 \times 50 = 10\,000$

Logo,

$10\,000\log x = 10\,000\\\log x = 1\\x = 10^1 = 10$

Portanto, $x$ pertence ao intervalo [9;11].