Question

Se log a (na base x) = n e log a(na base y)= 6n, calcule a raiz cúbica de x2.y
$log_{a} \sqrt[3]{ {x}^{2}.y }$

Answer 1

É dito que $log_{x}a = n log_{y}a = 6n$

Vamos primeiro, desenvolver:

$log_{a} \sqrt[3]{x^2y} = log_{a}(x^2y)^{1/3} = log_{a}x^{2/3}y^{1/3} = log_{a}x^{2/3} + log_{a}y^{1/3} =$

$\frac{2}{3} log_{a}x + \frac{1}{3} log_{a} y$

Perceba que não nos foi dado os valores exatos dos logaritmos acima.

Então, pela propriedade da mudança de base dos logaritmos, podemos fazer:

$log_{x}a = \frac{ log_{a}a }{ log_{a}x } =\ \textgreater \ log_{x}a = \frac{1}{log_{a}x} =\ \textgreater \ n = \frac{1}{log_{a}x} =\ \textgreater \ log_{a}x = \frac{1}{n}$

E também podemos fazer:

$log_{y}a = \frac{ log_{a}a }{ log_{a}y} =\ \textgreater \ log_{y}a = \frac{1}{log_{a}y} =\ \textgreater \ 6n = \frac{1}{log_{a}y} =\ \textgreater \ log_{a}y = \frac{1}{6n}$

Agora, voltando ao desenvolvimento inicial, vamos substituir:

$\frac{2}{3} log_{a}x + \frac{1}{3} log_{a} y = \frac{2}{3} \frac{1}{n} + \frac{1}{3} \frac{1}{6n} = \frac{2}{3n} + \frac{1}{18n} = \frac{13}{18n}$