Question

se log (7x-4)- log (5x-8) =log 2,encontre o valor de x?​

Answer 1

Equação logarítmica.

$\log\,(7x-4)~-~\log\,(5x-8)~=~\log2\\\\\\Aplicando~a~propriedade~do~logaritmo~do~quociente:\\\\\\\log\,\left(\dfrac{7x-4}{5x-8}\right)~=~\log2$

Temos uma igualdade de logaritmos de mesma base (10), assim, para que a igualdade seja atendida, necessariamente os logaritmandos devem também ser iguais.

$\dfrac{7x-4}{5x-8}~=~2\\\\\\Multiplicando~cruzado\\\\\\7x-4~=~2\cdot (5x-8)\\\\\\7x-4~=~10x-16\\\\\\7x-10x~=~-8+4\\\\\\-3x~=~-4\\\\\\x~=~\dfrac{-4}{-3}\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{4}{3}}$

Não acabou! Precisamos verificar se esse valor (4/3) atende às condições de existência do logaritmo. Vamos relembrar que C.E's são essas:

$Seja~\log_{_b}a,~~temos:\\\\C.E.:~~~\left\{\begin{array}{ccc}a&>&0\\b&>&0\\b&\ne&1\end{array}\right$

Vamos verificar então as C.E's nos logaritmos dados na equação:

$\underline{Para~~\log\,(7x-4)}:\\\\\\\begin{array}{cll}\Rightarrow&a~=~7\cdot \dfrac{4}{3}-4&\\\\&a~=~\dfrac{28}{3}-4&\\\\&a~=~\dfrac{16}{3}&\Rightarrow~\boxed{a>0~\checkmark}\\\\\\\Rightarrow&b~=~10&\Rightarrow\boxed{b>0~,~b\ne1~~\checkmark}\end{array}$

$\underline{Para~~\log\,(5x-8)}:\\\\\\\begin{array}{cll}\Rightarrow&a~=~5\cdot \dfrac{4}{3}-8&\\\\&a~=~\dfrac{20}{3}-4&\\\\&a~=\-\dfrac{4}{3}&\Rightarrow~\boxed{a>0~\times}\\\\\\\Rightarrow&b~=~10&\Rightarrow\boxed{b>0~,~b\ne1~~\checkmark}\end{array}$

Como uma das C.E's não foi atendida no 2º logaritmo, a resposta x=4/3 não é solução para a equação dada e, com isso, podemos afirmar que não há "x" Real que satisfaça a equação logarítmica dada.

Obs.: O valor 4/3 é solução apenas da equação algébrica encontrada a partir da equação logarítmica.

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$