Question

Se log 27 na base 12 = a, calcule log 16 na base 6

Answer 1

Neste exercício, vamos utilizar a propriedade da troca de base para reescrevermos o log₁₂27 e log₆16 em uma base comum.

A nova base, em si, pode ser qualquer uma, desde que atenda às condições de existência dos logaritmos e, por conveniência na hora de escrever, vou utilizar a base decimal (10).

Isso nos permitirá, com auxílio de outras propriedades logarítmicas, determinar log₆16 em função de "a".

Para facilitar a consulta, vou listar primeiro as propriedades que serão utilizadas nesta resolução.

Obs.: A visualização pelo app pode apresentar alguns problemas e/ou ficar desorganizada, assim procure abrir a resolução no seu browser.

$(1)~Propriedade~do~Logaritmo~do~Produto:~~\boxed{\log_b(a\cdot c)=\log_ba+\log_bc}\\\\\\(2)~Propriedade~do~Logaritmo~do~Quociente:~~\boxed{\log_b\left(\dfrac{a}{c}\right)=\log_ba-\log_bc}\\\\\\(3)~Propriedade~do~Logaritmo~da~Potencia:~~\boxed{\log_ba^c=c\cdot\log_ba}\\\\\\(4)~Propriedade~da~Troca~de~Base:~~\boxed{\log_ba=\dfrac{\log_ca}{\log_cb}}$

Utilizando a propriedade de troca de base nos dois logaritmos:

$\log_{12}27~=~a~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{\log27}{\log12}~=~a}\\\\\\\log_{6}16~=~x~~~\Rightarrow~~~\boxed{\dfrac{\log16}{\log6}~=~x}$

Certo, isso ainda não nos ajuda muito, não sabemos o valor de qualquer um destes logaritmos. Vamos então fatorar os logaritmandos destes logaritmos.

$\dfrac{\log27}{\log12}~=~a~~~\Longrightarrow~~~\dfrac{\log\,(3\cdot3\cdot3)}{\log\,(2\cdot2\cdot 3)}~=~a~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\dfrac{\log3^3}{\log\,(2^2\cdot3)}~=~a}\\\\\\\dfrac{\log16}{\log6}~=~x~~~\Longrightarrow~~~\dfrac{\log\,(2\cdot2\cdot2\cdot2)}{\log\,(2\cdot3)}~=~x~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\dfrac{\log2^4}{\log\,(2\cdot3)}~=~x}$

Agora temos um resultado interessante, perceba que em todos logaritmandos aparecem os mesmos dois fatores: 2 e 3.

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto e, posteriormente, a propriedade do logaritmo da potência, teremos:

$\dfrac{\log3^3}{\log\,(2^2\cdot3)}~=~a~~~\Longrightarrow~~~\dfrac{\log3^3}{\log2^2+\log3}~=~a~~\Longrightarrow~~\boxed{\dfrac{3\cdot\log3}{2\cdot\log2+\log3}~=~a}\\\\\\\dfrac{\log2^4}{\log\,(2\cdot3)}~=~x~~~\Longrightarrow~~~\dfrac{\log2^4}{\log2+\log3}~=~x~~~\Longrightarrow~~~\boxed{\dfrac{4\cdot\log2}{\log2+\log3}~=~x}$

Note que é possível isolar log2 (ou log3) na expressão encontrada para log₁₂27 e substituir na expressão achada para log₆16.

$\dfrac{3\cdot\log3}{2\cdot\log2+\log3}~=~a\\\\\\3\log3~=~a\cdot\left(2\cdot\log2+\log3\right)\\\\\\3\log3~=~2a\cdot\log2+a\cdot\log3\\\\\\2a\cdot\log2~=~3\log3-a\cdot\log3\\\\\\2a\cdot\log2~=~(3-a)\cdot\log3\\\\\\\boxed{\log2~=~\dfrac{3-a}{2a}\cdot\log3}$

Substituindo log2 na expressão de log₆16:

$\dfrac{4\cdot\log2}{\log2+\log3}~=~x\\\\\\\dfrac{4\cdot\left(\dfrac{3-a}{2a}\cdot\log3\right)}{\dfrac{3-a}{2a}\cdot\log3+\log3}~=~x\\\\\\\dfrac{\dfrac{6-2a}{a}\cdot\log3\!\!\!\!\!\backslash}{\left(\dfrac{3-a}{2a}+1\right)\cdot\log3\!\!\!\!\!\backslash}~=~x$

$\dfrac{\dfrac{6-2a}{a}}{\dfrac{3-a}{2a}+1}~=~x\\\\\\x~=~\dfrac{\dfrac{6-2a}{a}}{\dfrac{3-a+2a}{2a}}\\\\\\x~=~\dfrac{\dfrac{6-2a}{1}}{\dfrac{3-a+2a}{2}}\\\\\\x~=~\dfrac{\dfrac{6-2a}{1}}{\dfrac{3+a}{2}}\\\\\\x~=~\dfrac{2\cdot(6-2a)}{3+a}\\\\\\\boxed{x~=~\dfrac{12-4a}{3+a}}~~ \Rightarrow~Resposta$

$\Huge{\begin{array}{c}\Delta \tt{\!\!\!\!\!\!\,\,o}\!\!\!\!\!\!\!\!\:\,\perp\end{array}}Qualquer~d\acute{u}vida,~deixe~ um~coment\acute{a}rio$