Question

Se log 2 = a e log 3 = b, quanto vale log de 12 na base 5?

Answer 1

Olá,

como o logaritmo está na base 5, vamos passa-lo para a base 10, já que log2=a e log3=b estão nesta base. Usando a propriedade de mudança de base,

$log_pn~\to~ \dfrac{logn}{logp}$    ,    teremos:

$log_512= \dfrac{log12}{log5}\\\\ log_512= \dfrac{log(2^2\cdot 3)}{log \dfrac{10}{2} }$

Agora, aplicaremos as propriedades, do produto, do quociente, da potência e a decorrente da definição:
 
$log(np)~\to~log(n\cdot p)~\to~logn+logp\\\\ log \dfrac{n}{p}~\to~logn-logp\\\\ logp^n~\to~n\cdot logp\\\\ log_nn=1$

________________________

$log_512= \dfrac{2\cdot log2+log3}{log10-log2}\\\\ log_512= \dfrac{2\cdot log2+log3}{log_{10}10-log2}\\\\ log_512= \dfrac{2\cdot a+b}{1-a}\\\\ \boxed{log_512= \dfrac{2a+b}{1-a}}$

Tenha ótimos estudos =))