Question

Se L(x) = x3 −105x
2 +3000x −10000 é a função lucro de uma determinada
empresa, onde x é a quantidade produzida e vendida, no intervalo 0 ≤ x ≤ 60 , e L(x) é dada em
unidades monetárias, determine o que se pede em cada item.
a) Os intervalos abertos onde o lucro é crescente;
b) A quantidade que deve ser produzida e vendida para que se tenha lucro máximo bem como o
lucro máximo.

Answer 1

Utilizando conceitos de derivada, crescimento, maximos e minimos, temos que:

A) Crescente em (-∞,20)∪(50,∞).

B) Lucro maximo de 16 mil, quando x = 20.

Explicação passo-a-passo:

Então temos a seguinte função lucro:

$L(x)=x^3-105x^2+3000x-10000$

E também iremos precisar da sua função derivada para obtermos crescimentos, maximos e minimos:

$L'(x)=3x^2-210x+3000$

Com isso vemos que a derivada do lucro é uma função de parabola, e sabemos que uma parabola com coeficiente "a" (Valor que multiplicar x²) positivo, é voltada para cima, ou seja, os valores de x entre as duas raízes desta parabola estão para baixo do eixo x (valores negativos) e os valores menores ou maiores que as raízes desta parabola equivalem a valores acima do eixo x (valores positivos).

Tendo estas informações, podemos responder as perguntas:

a) Os intervalos abertos onde o lucro é crescente;

Sabemos que para uma função ser crescente a sua derivada deve ser positiva, e como já citei anteriormente, para a função parabola ser positiva, os valores de x devem ser menores ou maiores que as raízes da função da parabola.

Então precisamso encontrar estas raízes por meio de Bhaskara:

$\Delta = b^2-4ac=210²-4.3.3000=44100 - 36000=8100$

$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{210\pm90}{6} =35\pm 15$

$x_1=35- 15=20$

$x_2=35+ 15=50$

Assim temos que estas raízes são 20 e 50, então esta função é crescente fora deste intervalo ou seja, é crescente em (-∞,20)∪(50,∞).

b) A quantidade que deve ser produzida e vendida para que se tenha lucro máximo bem como o lucro máximo.

O maximo e o minimo de uma função é dada por onde a derivada é 0, que já encontramos anteriormente sendo x = 20 e x = 50.

E vemos pela derivada que é uma parabola para cima, que antes de x = 20, ela é positiva, então esta crescendo e depois de 20 é negativo então esta decrescendo, logo, x = 20 é um ponto de maximo, com x = 50 é o contrário então é um ponto de minimo, assim temso que a quantidade a ser produzida para o lucro ser maximo é de x = 20, e este lucro maximo é de:

$L(x)=x^3-105x^2+3000x-10000$

$L(x)=20^3-105.20^2+3000.20-10000$

$L(x)=16 000$

Este lucro é maximo de 16 mil, quando x = 20.