Question

Se i² = -1, calcule o valor de (1 + i)¹² - (1 - i)¹².

Answer 1

Olá

Antes de começar, vamos avaliar uma coisa:

i⁰ = 1

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

Sabendo disso, podemos começar a resolver

(1 + i)¹² = (1 + i)⁶ . (1 + i)⁶

(1 + i)⁶ = (1 + i)³ . (1 + i)³

Produto Notável: Cubo de uma soma

(1 + i)³ = 1³ + 3.1².i + 3.1.i² + i³ = 1 + 3i + 3.(-1) - i = - 2 + 2i

Ora, voltando...

( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) = ( 1 + i)¹²

( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) = 2² + (2.(-2).(2i) + 4i² = 4 - 8i + 4i² =

= 4 - 8i + 4.(-1) = - 8i

(-8i).(-8i) = 64i² = 64.(-1) = -64

Este foi a primeira parte... Vamos à segunda...

(1 - i)³ = 1³ - 3.1².(-i) + 3.1.(-i)² - i³ = 1 + 3i + 3.(-1) - i³ = - 2 + 2i

( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) = ( 1 + i)¹²

( -2 + 2i ) . ( -2 + 2i ) = 2² + (2.(-2).(2i) + 4i² = 4 - 8i + 4i² =

= 4 - 8i + 4.(-1) = - 8i

(-8i).(-8i) = 64i² = 64.(-1) = -64

Agora é só concluir...

(-64) - (-64) = - 64 + 64 = 0

Abraços