Question

Se f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 1, determine os valores reais de x para os quais (fog)(x) <= 0

Answer 1

Resposta: - 2 <= x <= 0

Explicação passo-a-passo:

Sabe-se (f o g)(x) = f(g(x)) e também nos é dado que f(x) = x² - 1 e g(x) = x + 1. Assim sendo, obteremos:

f(g(x)) = [g(x)]² - 1 = (x + 1)² - 1² = [(x + 1) + 1][(x + 1) - 1] = (x + 2)x = x(x + 2)

Com isso, basta fazer: (f o g)(x) = f(g(x)) = x(x + 2) <= 0

— Primeira possibilidade

x <= 0 e x + 2 >= 0 <=>

x <= 0 e x >= - 2 <=>

- 2 <= x <= 0

— Segunda possibilidade

x >= 0 e x + 2 <= 0 <=>

x >= 0 e x <= - 2

O que é, obviamente, um conjunto vazio (a intersecção dos conjuntos x >= 0 e x <= - 2 é vazia, pois não existe x real que esteja simultaneamente nos dois intervalos). Logo, a primeira possibilidade nos fornece a resposta, que é dada por:

- 2 <= x <= 0 ou Notação de intervalo real: S = {x é Real: - 2 <= x <= 0}

Também poderia ser solucionado com o auxílio de uma parábola com concavidade voltada para cima e raízes - 2 e 0, esboçada no sistema cartesiano ortogonal usual.

Abraços!