Question

Se f(x)=e^x . g(x), onde g(0)=2 e g'(0)=5, qual o valor de f'(0)?

Answer 1

Olá, boa tarde.

Para resolvermos esta questão, devemos lembrar de algumas propriedades estudadas em cálculo diferencial.

Se $f(x)=e^x\cdot g(x)$, em que $g(0)=2$ e $g'(0)=5$, devemos determinar $f'(0)$.

Diferenciamos ambos os lados da igualdade

$(f(x))'=(e^x\cdot g(x))'$

Para calcular esta derivada, lembre-se que:

• A derivada do produto de duas ou mais funções é calculada pela regra do produto: $(h(x)\cdot j(x))'=h'(x)\cdot j(x)+h(x)\cdot j'(x)$.
• A derivada da função exponencial é a própria função exponencial: $(e^x)'=e^x$.

Aplique a regra do produto

$f'(x)=(e^x)'\cdot g(x)+e^x\cdot g'(x)$

Calcule a derivada da função exponencial

$f'(x)=e^x\cdot g(x)+e^x\cdot g'(x)\\\\\\ f'(x)=e^x\cdot (g(x)+g'(x))$

Então, calcule $f'(0)$, fazendo $x=0$

$f'(0)=e^0\cdot (g(0)+g'(0))$

Sabendo que $e^0=1$ e substituindo os dados cedidos pelo enunciado, temos:

$f'(0)=1\cdot (2+5)\\\\\\ f'(0)=7~~\checkmark$

Este é o resultado que buscávamos.