Question

se f (x)=3x - 2 é g (f (x))= x/3 + 2) são funções reais, então g^-1(x) Vale?

Answer 1

Como

$f(x) = 3x - 2$

decorre que

$3x - 2 = f(x) \\ 3x = f(x) + 2 \\ x = \frac{f(x) + 2}{3}$

e então:

$g(f(x)) = \frac{x}{3} + 2 \\ g(f(x)) = \frac{ \frac{f(x) + 2}{3} }{3} + 2 \\ g(f(x)) = \frac{f(x) + 2}{3} \times \frac{1}{3} + 2 \\ g(f(x)) = \frac{f(x) + 2}{6} + 2 \\ g(f(x)) = \frac{f(x) + 2}{6} + \frac{12}{6} \\ g(f(x)) = \frac{f(x) + 2 + 12}{6} \\ g(f(x)) = \frac{f(x) + 14}{6}$

logo,

$g(x) = \frac{x + 14}{6}$

Agora vamos calcular a inversa da função g:

Escrevemos:

$y = \frac{x + 14}{6}$

Trocando x por y e y por x, segue que:

$x = \frac{y + 14}{6}$

Isolando y:

$x = \frac{y + 14}{6} \\ y + 14 = 6x \\ y = 6x - 14$

Portanto,

${g}^{ - 1} = 6x - 14$