Question

Se f(x + 3) = x²+2, calcule f(-1).

Answer 1

Primeiramente precisamos achar f(x) e então calcular f(-1)

A função f(x + 3) = x² + 2 é uma função composta f(g(x)) onde g(x) = x + 3.

Então temos:
f(g(x)) = x² + 2
g(x) = x + 3

Para acharmos f(x) compomos f(g(x)) com a inversa de g(x), ficando:
f(x) = f(g(g⁻¹(x)))

Seja a função g(x) = x + 3, a sua inversa é calculada assim (trocamos o y pelo x e o x pelo y e em seguida isolamos o y):

g(x) = y  ⇒  y = x + 3  ⇒  x = y + 3 ⇒ y = x - 3

Então g⁻¹(x) = x - 3

Vamos efetuar a composição de f(g(x)) = x² + 2 com a inversa g⁻¹(x), ficando assim:

f(x) = f(g(g⁻¹(x))) = (x - 3)² + 2  ⇒  x² - 6x + 9 + 2  ⇒ f(x) = x² - 6x + 11

Agora que temos f(x), podemos calcular f(-1):

f(-1) = (-1)² - 6(-1) + 11  ⇒  f(-1) = 1 + 6 + 11  ⇒  f(-1) = 18.


Portanto, f(-1) = 18


Se lhe pareceu complicado o entendimento, alguns livros ensinam fazer assim:

f(x + 3) = x² + 2

x + 3 = u  ⇒  x = u - 3

f(u) = (u - 3)² + 2  ⇒  f(u) = u² - 6u + 9 + 2  ⇒  f(u) = u² - 6u + 11

Assim,
f(x) = x² - 6x + 11    e    f(-1) = (-1)² -6(-1) + 11 ⇒ f(-1) = 1 + 6 + 11 ⇒  f(-1) = 18