Question

Se F(x)= 1 / 1-x , determine f(f(f(x))).

Answer 1

Podemos fazer na "força bruta" mesmo:

$f(x) = \dfrac 1{1-x} \Rightarrow \\[3ex] f(f(x)) = \dfrac 1{1-f(x)} = \dfrac{1}{1-\dfrac 1{1-x}} = \dfrac 1{\dfrac{1-x-1}{1-x}} = \dfrac {1-x}{-x} = 1 - \dfrac 1x$

Logo:

$f(f(f(x)) = \dfrac {1}{1-f(f(x))} = \dfrac 1{1-1+\dfrac 1x} = x \\[3ex]\boxed{ \therefore f(f(f(x))) = x}$

Outra maneira de fazer é usar o seguinte fato: se f e g são funções tais que

$f(x) = \dfrac{ax+b}{cx+d} \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad g(x) =\dfrac{Ax+B}{Cx+D}$

podemos associar as seguintes matrizes a essas funções:

$F = \left[\begin{array}{cc}a&b\\c&d\end{array}\right] \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad G = \left[\begin{array}{cc}A&B\\C&D\end{array}\right]$

A composição dessas funções é:

$f(g(x)) = \dfrac{(aA+bC)x + (aB+bD)}{(cA+dC)x + (cB+dD)}$

E o produto das matrizes é

$FG = \left[\begin{array}{cc} aA+bC & aB+bD \\cA+dC & cB+dD}\end{array}\right]$

Ou seja, a matriz associada a composição fog é o produto das matrizes associadas a F e G. Logo, no nosso problema temos:

$F =\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right]$

Como queremos f(f(fx))) basta calcular F³:

$F^3 = \left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-1&1\\-2&0\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}0&1\\-1&1\end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc}-2&0\\0&-2\end{array}\right]$

Portanto:

$f(f(fx))) = \dfrac{-2x}{-2} \Rightarrow \boxed{f(f(fx))) = x}$