Question

Se f(x)=
{0, se x < 0
{2x, se x ≥ 0
então resolva a equação f(x+2) - x = 3.
Resposta {-3, -1}

Answer 1

$f(x) = \left \{ {{0, \hspace{5mm}x<0} \atop {2x, \hspace{5mm}x\geq 0}} \right.$

Ele te diz que f(x+2) = x+3

Vamos chamar y de x+2.

f(y) = x+3

Se  y≥0,   f(y) = 2y:

2(x+2) = x+3

2x + 4 = x + 3

x = -1

Se y<0,   f(y) = 0:

0 = x+ 3

x = -3

Answer 2

Sabe-se que a função f(x) é definida por partes, logo, as respectivas leis de formação para cada intervalo em que a variável livre x está definida (subconjuntos próprios do domínio) são dadas abaixo:

$\mathsf{f\big(x\big)}= \begin{cases}\mathsf{0,\ se\ \ x<0}\\\\ \mathsf{2x,\ se\ \ x\geq 0}\end{cases}\mathsf{\quad(i)}$

À vista disso, o exercício solicita o conjunto solução da seguinte equação algébrica envolvendo a função f(x):

$\mathsf{f\big(x+2\big)-x=3\qquad (ii)}$

Baseado em (i) vamos encontrar as expressões algébricas associadas a f(x + 2):

$\mathsf{\qquad\quad\ \ \ \ \, \ \ f\big(x\big)}= \begin{cases}\mathsf{0,\ se\ \ x<0}\\\\ \mathsf{2x,\ se\ \ x\geq 0}\end{cases}\mathsf\\\\\\\\\\ \mathsf{\ \, \Longrightarrow\quad f\big(x+2\big)}=\begin{cases}\mathsf{0,\ se\ \ x+2<0}\\\\ \mathsf{2\big(x+2\big),\ se\ \ x+2\geq 0}\end{cases}\\\\\\\\ \mathsf{\iff\quad \!f\big(x+2\big)}=\begin{cases}\mathsf{0,\ se\ \ x<-2}\\ \\ \mathsf{2x+4,\ se\ \ x\geq -2}\end{cases}$

Portanto, para x < - 2, a equação (ii) tornar-se-á:

$\mathsf{\qquad\quad \underbrace{\mathsf{f\big(x+2\big)}}_{0}-\ x=3}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad\ 0-x=3}\\\\\\ \mathsf{\!\!\! \iff\ \ \ -x=3}\\\\\\ \mathsf{\!\!\! \iff\ \ \ x=-3}$

Note que x = - 3 é solução, pois - 3 < - 2 (a raiz deve estar no intervalo considerado).

Por último, para x ≥ - 2, a equação (ii) equivaler-se-á:

$\mathsf{\qquad\quad \underbrace{\mathsf{f\big(x+2\big)}}_{2x\,+\,4}-\ x=3}\\\\\\ \mathsf{\Longrightarrow\quad 2x+4-x=3}\\\\\\ \mathsf{\!\!\! \iff\ \ \ \!2x-x=3-4}\\\\\\ \mathsf{\!\!\! \iff\ \ \ \!x=-1}$

Perceba que x = - 1 também é zero real (raiz real) da equação (ii), ao passo que - 1 ≥ - 2. Por fim, o respectivo conjunto solução será:

$\mathsf{S=\{-3,-1\}.}$

Rebequinha, um grande abraço!