Question

Se f for contínuo para todos x, qual das seguintes integrais tem necessariamente o mesmo valor?

{Em Anexo}

A. I e II apenas
B. I e III apenas
C. Il e II apenas
D. 1, II e III
E. Não há dois necessariamente com o mesmo valor.​

Answer 1

A alternativa correta é a letra B.

Dadas as três integrais, queremos determinar quais integrais têm necessariamente o mesmo valor.

Podemos deixar a primeira integral ser ela mesma.

Para a segunda integral, podemos realizar uma substituição em u. Seja u = x + a. Então:

du = dx

Mudando nossos limites de integração:

$\begin{gathered} \displaystyle u_1 = (0) + a = a \ e \ u_2 = (b + a) + a = b + 2a \end{gathered}$

Assim, a segunda integral torna-se:

$\displaystyle \boxed{\int_{0}^{b+a}f(x+a)\, dx = \int_a^{b+2a} f(u)\, du}$

Para a terceira integral, também podemos realizar uma substituição em u. Seja u = x + c. Então:

du = dx

E mudando nossos limites de integração:

$\begin{gathered} \displaystyle u_1 = (a-c) + c = a \ e \ u_2 = (b-c) + c = b \end{gathered}$

Assim, nossa terceira integral torna-se:

$\displaystyle \boxed {\int_{a-c}^{b-c}f(x+c)\, dx = \int_{a}^{b} f(u)\, du}$

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