Question

Se f e g são funções diferenciáveis, então,
1° ANEXO
a qual é chamada de fórmula de integração por partes. Usando esta fórmula, em várias situações podemos tornar um problema de integração mais simples. Considere a função F(x) definida abaixo:
2° ANEXO
na qual F(0) = 5. Neste sentido, analise as afirmativas seguintes com relação ao termo independente de F.

I. ímpar.
II. primo.
III. quadrado perfeito.
IV. múltiplo de 3.

É correto o que se afirma em:

alternativas
1- l e ll apenas
2- ll e lll apenas
3- lll e lv apenas
4- l, ll e lv
5- l,ll,lll e lv

Answer 1

Temos a seguinte integral indefinida:

$F(x) = \int (x {}^{2} + 3x). \sin(x)dx$

Para resolver essa integral, vamos usar o método da integração por partes, nesse método temos que escolher uma função para ser integrada e outra derivada, para fazer uma escolha correta, vamos lembrar da escala de propriedade LIATE → Funções Logarítmicas, Inversas Trigonométricas, Algébricas, Trigonométricas e Exponenciais.

Quem estiver mais a esquerda da escala, será candidata a ser derivada e quem estiver mais a direita será integrada. Dentro da nossa Integral, temos uma função algébrica e uma função trigonométrica, então a algébrica será derivada e a trigonométrica integrada:

$u = x {}^{2} + 3x\longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (x {}^{2} + 3)\longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2x + 3\longleftrightarrow du = 2x + 3dx \\ \\ dv = \sin x \longleftrightarrow \int dv = \int \sin x\longleftrightarrow v = - \cos x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esses dados na fórmula:

$\int dv.u = u.v - \int v.du \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int \sin x.(x {}^{2} + 3x) = ( {x}^{2} + 3x). ( - \cos(x)) - \int ( - \cos (x)).(2x + 3dx) \\ \\ \int \sin x.(x {}^{2} + 3x) = - (x {}^{2} + 3 {x}).( \cos x) + \int \cos x.(2x + 3)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Observe que surgiu outra integral que deve ser calculada através do mesmo método (integração por partes), mais uma vez a função "u" será a algébrica e a "dv" a trigonométrica, então:

$u = 2x + 3 \longleftrightarrow \frac{du}{dx} = \frac{d}{dx} (2x + 3)\longleftrightarrow \frac{du}{dx} = 2\longleftrightarrow du = 2dx \\ \\ dv = \cos x\longleftrightarrow \int dv = \int \cos x\longleftrightarrow v = \sin x \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo na fórmula:

$\int (2x + 3).( \cos(x)) = (2x + 3).( \sin(x)) - \int \sin(x) . 2dx \\ \\ \int (2x + 3).( \cos(x)) = (2x + 3).( \sin(x)) - 2 \int \sin(x) dx \\ \\ \int (2x + 3).( \cos(x)) = (2x + 3).( \sin(x)) - 2 ( - \cos(x)) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \int (2x + 3).( \cos(x)) = (2x + 3).( \sin (x)) + 2 \cos(x) \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Substituindo esse resultado onde paramos:

$\int \sin x.(x {}^{2} + 3x) = - (x {}^{2} + 3 {x}).( \cos x) + \int \cos x.(2x + 3)dx \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{ \boxed{ \int \sin x.(x {}^{2} + 3x) = - (x {}^{2} + 3x).( \cos (x)) + (2x + 3).( \sin(x)) + 2 \cos(x )}}$

Portanto temos que a integração é dado por:

$\boxed{ \boxed{ F(x) = - (x {}^{2} + 3x).( \cos (x)) + (2x + 3).( \sin(x)) + 2 \cos(x ) + C }}$

Para finalizar a questão, devemos verificar a informação F(0)=5:

$F(0) = - (x {}^{2} + 3x).( \cos (x)) + (2x + 3).( \sin(x)) + 2 \cos(x ) + C \\ \\ 5 = - (0 {}^{2} + 3.0). \cos(0) + (2.0 + 3). \sin (0) + 2 \cos(0) + C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\5 = - 0 + 0 + 2+ C \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \\ \\ \boxed{\boxed{ C = 3}} \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \:$

Portanto podemos concluir que:

• Resposta: Alternativa I, II e IV.

Espero ter ajudado

Answer 2

Resposta:

I, II, IV

Explicação passo a passo: