Question

Se f é a função que satisfaz f(3)=6,f(1)=3 e é tal que, para cada x, o coeficiente angular da reta tangente ao gráfico de f no ponto de coordenadas (x,f(x)) é proporcional a f(x), o valor de f(−1) é

Answer 1

Resposta:

f(-1) = 3/2

Explicação passo a passo:

Temos aqui uma equação diferencial de primeira ordem com condições de contorno:

f'(x) = k * f(x)

com

f(3) = 6

f(1) = 3

Reescrevendo a equação:

f'(x) / f(x) = k

ou

y'/y = k , onde y=f(x)

mas sabemos que a integral de 1/y é ln(y), então integrando:

ln(y) = k*x + c

Substituindo y=f(x):

ln(f(x)) = k*x+c

=> f(x) = e^(k*x+c)

Aplicando as condições de contorno:

f(3) = e^(3*k+c) = 6 =>

3*k+c = ln(6)            (1)

f(1) = e^(1*k+c) = 3 =>

k+c = ln(3)               (2)  

Subtraindo a equação (2) da (1), obtemos:

2*k = ln(6)-ln(3) = ln(2) => k = ln(2)/2

c = ln(3)-k = ln(3)-ln(2)/2 = (2*ln(3)-ln(2))/2 = ln(9/2)/2

Portanto:

f(x) = e^(x*ln(2)/2 + ln(9/2)/2)

Calculando o valor de f(-1):

f(-1) = e^(-ln(2)/2 + ln (9/2)/2)

= e^[1/2*(ln(9/2)-ln(2)]

= e^[1/2*ln(9/4)]

= e^[ln(raiz(9/4)]

= e^(ln(3/2))

= 3/2