Question

Se f definida em R e tal que, para todo x, |f(x) − 3| ≤ 2|x − 1|. Calcule limx→1

f(x) e

justifique.​

Answer 1

Solução:

Seja $b>0$ temos a seguinte propriedade de módulo $|a|<b\Rightarrow -b<a<b$, aplicando isso a desigualdade que foi dada, então:

$|f(x)-3|\ \leq 2|x-1|\\\\\\\Rightarrow -2|x-1|\ \leq f(x)-3\leq 2|x-1|\\\\\\\Rightarrow -2|x-1|+3\leq f(x)\leq3+2|x-1|$

Tomando o $\displaystyle\lim_{x\to1}$ em toda a desigualdade

$\displaystyle\lim_{x\to1} -2|x-1|+3\leq\displaystyle\lim_{x\to1} f(x)\leq\displaystyle\lim_{x\to1}3+2|x-1|$

Note que

$\displaystyle\lim_{x\to1}-2|x-1|+3=\displaystyle\lim_{x\to1} 3+2|x-1|=3$

Por fim, pelo teorema do confronto, concluímos que $\boxed{\displaystyle\lim_{x\to1}f(x)=3}$