Question

Se f(2x² - 3x + 1) = (-4x² + 6x + 1)/(2x² - 3x - 4), quanto vale f(6)?

Answer 1

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Vamos reescrever a expressão de f de uma forma mais conveniente:

$\mathsf{f(2x^2-3x+1)=\dfrac{-4x^2+6x+1}{2x^2-3x-4}}\\\\\\ \mathsf{f(2x^2-3x+1)=\dfrac{-4x^2+6x-2+2+1}{2x^2-3x+1-1-4}}\\\\\\ \mathsf{f(2x^2-3x+1)=\dfrac{-4x^2+6x-2+3}{2x^2-3x+1-5}}\\\\\\ \mathsf{f(2x^2-3x+1)=\dfrac{-2\cdot (2x^2+3x-1)+3}{(2x^2+3x-1)-5}}$


Chamando  g(x) = 2x² – 3x + 1, temos então que

$\mathsf{f\big[g(x)\big]=\dfrac{-2\cdot g(x)+3}{g(x)-5}\qquad\qquad com~g(x)\ne 5\qquad\quad(i)}$


Observe que a variável x não aparece isolada na expressão de f, mas sempre está como entrada também da função g.

Por causa desse fato especial, podemos simplesmente calcular as soluções da equação g(x) = 6.

Tudo funciona como se fizéssemos uma mudança de variável, onde a nova variável u é igual a g(x), de onde tiramos que

$\mathsf{f(u)=\dfrac{-2u+3}{u-5}\qquad\qquad com~u\ne 5}$


Resolvendo a equação

u = 6

2x² – 3x + 1 = 6

2x² – 3x + 1 – 6 = 0

2x² – 3x – 5 = 0


Vou usar fatoração por agrupamento. Reescreva convenientemente – 3x como + 2x – 5x:

2x² + 2x – 5x – 5 = 0

2x · (x + 1) – 5 · (x + 1) = 0

(2x – 5) · (x + 1) = 0

2x – 5 = 0    ou   x + 1 = 0

2x = 5    ou   x = – 1

x = 5/2   ou   x = – 1


•  Para x = 5/2, obtemos

$\mathsf{f\big[g(5/2)\big]=\dfrac{-2\cdot g(5/2)+3}{g(5/2)-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-2\cdot 6+3}{6-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-12+3}{6-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-9}{1}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=-9\qquad\quad(ii)}$


•  Para x = – 1, obtemos

$\mathsf{f\big[g(-1)\big]=\dfrac{-2\cdot g(-1)+3}{g(-1)-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-2\cdot 6+3}{6-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-12+3}{6-5}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=\dfrac{-9}{1}}\\\\\\ \mathsf{f(6)=-9\qquad\quad(iii)}$


Em qualquer caso, encontramos

$\mathsf{f(6)=-9}\quad\longleftarrow\quad\textsf{esta \'e a resposta.}$

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Observação:  Caso na expressão (i), a variável x aparecesse desatrelada à função g, poderíamos não conseguir calcular o valor de f em dado ponto.


Bons estudos! :-)