Question

Se eu tenho a seguinte proposição: todo brasileiro é americano.

É correto afirmar que:

a) todo americano é um brasileiro

b) alguns americanos são brasileiros

c) alguns brasileiros são americanos

d) nenhum americano é brasileiro

e) nenhum brasileiro é americano
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Answer 1

Vamos transformar o argumento lógico para uma visão dentro da teoria dos conjuntos.

Definiremos Conjuntos distintos para caracterizar os Brasileiros e Americanos em geral deste modo:

$A:=\{x\:|\:x\:e\´\:americano\}$

e

$B:=\{x\:|\:x\:e\´\:brasileiro\}$

Temos que todo brasileiro é americano, portanto, todo elemento de B é elemento de A, chamamos B, então, de subconjunto de A:

$B \subset A$

$x\in B \implies x \in A$

Como temos uma implicação, a contra positiva é verdade:

$x\notin A \implies x \notin B$

Mas alguns pensamentos podem ser falaciosos e são estas falácias que iremos explicitar em cada alternativa:

a) todo americano é um brasileiro

Isso é falso, pois, ele diz que, para todo x pertencente a A, x deve pertencer a B, o que não é sempre verdade, já que Existem outras nacionalidades na América, já que B ser subconjunto de A não implica A-B ser vazio, e realmente não é:

$A-B \neq \emptyset$

b)  alguns americanos são brasileiros

Dizer 'alguns' é a mesma coisa que falar que:

"Alguns S são T" se e somente se

$\exists \:x \in S \: tal \: que \: x\in T$

Mas, também que

$S-T \neq \emptyset$

E veja que sim, faz sentido, existem americanos que são brasileiros, mas nem todo americano é brasileiro, ou seja, o conjunto dos americanos que não são brasileiros não é vazio, assim o uso do 'algum' é correto.

c) alguns brasileiros são americanos

Apesar de aparentar estar correta, é falaciosa pelo uso do algum, lembre da definição acima

$\exists\: x \in B \: tal \: que \: x\in A$

Mas, também que

$B-A \neq \emptyset$

O problema está nessa última frase, uma vez que B é subconjunto de A,

$B-A = \emptyset$

E portanto, o alguns não faz sentido, pois não existem brasileiros que não são americanos.

d) nenhum americano é brasileiro

O nenhum é uma partícula que funciona assim

"Nenhum K é R" se e somente se

$x\in R \implies x\notin K$

Perceba como não faz sentido pelo fato de B ser subconjunto de A:

$x\in B \implies x \in A$

E a afirmativa diz que:

$x \in B \implies x \notin A$

Um contradição, portanto, falsa.

e) nenhum brasileiro é americano

A afirmativa diz que

$x\inA \implies [tex]x\notin B$

Para todo x, o que é falso, uma vez que

$A\cap B \neq \emptyset$

Pois, $x\in B \implies x \in A$

A alternativa correta, então, é a alternativa b)