Question

se escrevendo os numeros de 1 a 10, um atrás do outro, existe uma possibilidade de colocar os símbolos de - e + em frente aos números de modo que a sona resultante seja zero?

Answer 1

Antes de analisar o problema, vamos considerar as seguintes possibilidades de somar ou subtrair dois números.

par + par = par
par - par = par
ímpar + ímpar = par
ímpar - ímpar = par

par + ímpar = ímpar
par - ímpar = ímpar
ímpar + par = ímpar
ímpar - par = ímpar

Portanto, indenpendente da operação de adição ou subtração, o que vai determinar a paridade do resultado é apenas a paridade dos números envolvidos. Portanto, se os números a serem somados ou subtraídos tiverem mesma paridade, o resultado será par. Por outro lado, se os números envolvidados na adição ou subtração tiverem paridades distintas, o resultado será ímpar.

Agora vamos considerar o caso do problema, temos a seguinte situação.

1 ± 2 ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10

Considerando os números "1 ± 2", independente do sinal (soma ou subtração), temos dois números de paridade distintas (1 é ímpar e 2 é par), portanto o resultado será um número ímpar. Assim, teremos:

ímpar ± 3 ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10

Agora vamos considerar "ímpar ± 3", temos dois números de paridade iguais, portanto o resultado será par. Assim, teremos:

par ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10

Seguindo da mesma forma para os demais termos, teremos:

par ± 4 ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10
par ± 5 ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10
ímpar ± 6 ± 7 ± 8 ± 9 ± 10
ímpar ± 7 ± 8 ± 9 ± 10
par ± 8 ± 9 ± 10
par ± 9 ± 10
ímpar ± 10
ímpar

Assim, para o caso apresentado, independente dos sinais entre os números, o resultado sempre será ímpar. Portanto, não há a possibilidade de combinar os sinais para resultar zero, uma vez que zero é par.