Question

Se em uma progressão aritmética de razão positiva, o produto dos três primeiros termos é -48 e a soma é -12, então o quarto termo é:

Answer 1

Resposta:

$a_4=0$

Explicação passo-a-passo:

A soma dos $n$ primeiros termos de uma PA é dado pela fórmula $S_n=\frac{(a_1+a_n)*n}{2}$. Temos então que:

$S_3=\frac{(a_1+a_3)*3}{2}=-12$

$a_1+a_3=-8$

Sendo $a_3=a_1+2r$:

$a_1+a_1+2r=-8$

$2a_1+2r=-8$

$a_1+r=-4$

Perceba que $a_1+r=a_2$, logo $a_2=-4$. Temos então que $a_1=a_2-r=-4-r$ e $a_3=a_1+r=-4+r$. Sendo $a_1*a_2*a_3=-48$:

$(-4-r)*(-4)*(-4+r)=-48$

$(-4-r)(-4+r)=12$

Aplicando o produto notável $(a+b)(a-b)=a^2-b^2$:

$(-4)^2-r^2=12$

$r^2=16-12$

$r^2=4$

$r=\pm2$

Como a questão afirma que a razão é positiva, ficamos com $r=2$. Como $a_1+r=-4$, achamos que $a_1=-4-2=-6$. Por fim, temos que $a_4=a_1+3r$, logo $a_4=-6+3*2=0$