Question

Se, em uma PA, a soma dos três primeiros termos é igual a zero, e a soma dos dez primeiros termos é igual a 70, então a razão dessa progressão é:

01) –3
02) –2
03) 2
04) 3
05) 4

Answer 1

Temos a P.A.:

(a₁, a₂, a₃, ..., a₁₀,...)

E sabemos que 

$S_{3}=0~\Longrightarrow~3\cdot a_{1}+\dfrac{3\cdot2}{2}\cdot r=0$

e

$S_{10}=70~\Longrightarrow~10\cdot a_{1}+\dfrac{10\cdot9}{2}\cdot r=70$

Ou seja, têm-se o sistema de equações

$\left\{\begin{matrix} 3a_{1}+3r=0\hspace{15}\\10a_{1}+45r=70 \end{matrix}\right.\\\\\Leftrightarrow\\\\\left\{\begin{matrix} 30a_{1}+30r=0\hspace{15}\\30a_{1}+135r=210\end{matrix}\right.\\\\\Leftrightarrow\\\\105r=210\\\\\Leftrightarrow\\\\r=\dfrac{210}{105}\\\\r=2$

A razão é igual a 2. (resposta)

Por curiosidade, se r = 2 então a₁ = -2. 

A P.A. é a seguinte

$\left(\underbrace{\underbrace{-2,~0,~2,}_{S_{3}~=~0}~4,~6,~8,~10,~12,~14,~16,}_{S_{10}~=~70}~\ldots\right)$