Question

Se : ℝ → ℝ é uma função par e integrável em [−, ], usando o método de substituição, mostre que

∫ () = 2 ∫ () �

Em seguida, calcule:
. ∫ ²
1
−1
. ∫
4 + ² + 1
3
−3
. ∫ cos(2)

alguém mim ajuda! deixei o anexo também em foto.


alguém mim ajuda por favor!

Answer 1

Vamos seguir alguns passos para demonstrar essa generalização. O primeiro é que podemos separar a integral em duas integrais usando a seguinte propriedade.

$\mathsf{\boxed{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{-a}^{0}f(x)~dx+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}}$

Além disso, podemos "mudar de posição" os intervalos da primeira integral. Ou seja,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=-\displaystyle\int_{0}^{-a}f(x)~dx+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}$

Depois disso é só fazer a substituição de u = - x, onde du = - dx e u = a. Daí vem,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{0}^{a}f(-u)~du+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}$

Como a função é par, então f(-u) = f(u). Logo,

$\mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=\displaystyle\int_{0}^{a}f(u)~du+\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}\\ \\ \\ \mathsf{\displaystyle\int_{-a}^{a}f(x)~dx=2\displaystyle\int_{0}^{a}f(x)~dx}}$

Como queríamos demonstrar.

a ) Resolveremos essa integral diretamente sem usar a propriedade que demonstramos, mas se você tem em mente a noção de função par e ímpar conseguirá resolver tranquilamente. Para verificar se uma função é ímpar ou par basta considerar f(-x), se f(x-)=f(x) então a função é par, se f(-x)=-f(x), então a função é ímpar. Toda integral de funções ímpares em intervalos simétricos é igual a 0.

$\mathsf{\displaystyle\int_{-1}^{1}x^2~dx=\dfrac{x^3}{3}]_{-1}^{1}=\dfrac{1}{3}+\frac{1}{3}=\dfrac{2}{3}}$

b ) Aqui temos uma função par, portanto utilizaremos a integral que demonstramos. Então,

$\mathsf{2\displaystyle\int_{0}^{3}x^4+x^2+1~dx=2[\dfrac{x^5}{5} +\dfrac{x^3}{3}+x]_{0}^{3}=2[\dfrac{3^5}{5}+\dfrac{3^3}{3}+3] }$

c ) Resolveremos sem usar a propriedade.

$\mathsf{\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}cos(2u)~du=\dfrac{sen(2u)}{2}]_{-\pi}^{\pi} =0+0=0}$

Como o resultado deu 0, podemos dizer que trata-se de uma função ímpar.

Espero ter ajudado!