Question

Se "α" e "β" são as raízes da equação x²+6x+k=0 e 3α+2β=-20, qual o valor de "k"? Preciso com todos os cálculos detalhados, por favor!!

Answer 1

Olá, tudo bem? Toda equação do 2º grau tem, com suas raízes, relações (soma e produto) definidos por operações entre seus coeficientes. No caso, como as raízes são "α" e "β", podemos relacioná-las por:

Soma(S) das raízes:  S = α+β = - 6        (I)

Produto(P) das raízes: P = α.β = k;        (II)

ainda, foi-nos dado que: 3α + 2β = -20; (III)

assim, podemos montar um sistema com as equações (I) e (III) e, encontrados "α" e "β", aplicar na equação (II) e encontrar "k":

$\left \{ {{3\alpha+2\beta=-20} \atop {\alpha+\beta=-6}~(-2) \right.\rightarrow \left \{ {{3\alpha+\not2\not\beta=-20} \atop {-2\alpha-\not2\not\beta=6} \right. \rightarrow \\\\\boxed{\alpha=-8}~~\text{e}~~-8+\beta=-6\rightarrow \boxed{\beta=2}~~\text{Aplicando }\beta~~\text{e}~~\alpha~~\text{em (II)}:\\\\ \alpha.\beta=k \rightarrow (-8).2=k \rightarrow \boxed{k=-16}~~\text{(resposta final)}$

Qualquer dúvida, por favor, é só me comunicar, ok? Muito Agradecido!!