Question

Se duplicarmos o raio de uma esfera, o que acontece com o volume? E com a superfície?

Answer 1

A formula que determina o volume da esfera é a seguinte:

$V = \frac{4 \pi r^{3}}{3}$

Considerando uma esfera qualquer de raio x temos:

$Vx = \frac{4 \pi x^{3}}{3}$

Agora uma esfera com o dobro desse raio, 2x :

$Vx' = \frac{4 \pi (2x)^{3}}{3}$

$Vx' = \frac{4 \pi 8x^{3}}{3}$

$Vx' = \frac{32 \pi x^{3}}{3}$

Já que:

$Vx = \frac{4 \pi x^{3}}{3}$

Podemos substituir Vx em Vx':

$Vx' = \frac{32 \pi x^{3}}{3} = 8.(\frac{4 \pi x^{3}}{3})$

Logo,

$Vx' = 8Vx$

Conclui-se que ao dobrar o raio, o volume aumenta 8 vezes.
Agora com a área ou superficie da esfera, dada pela fórmula:

$4 \pi r^{2}$

$Vx = 4 \pi x^{2}$

$Vx' = 4 \pi (2x)^{2} = 4 \pi 4x^{2}$

$Vx' = 16 \pi x^{2} = 4.(4 \pi x^{2})$

$Vx' = 4Vx$

Com isso, ao dobrar o raio, a superficie cresce 4 vezes e seu volume 8 vezes.