Question

Se D é uma região limitada pelas curvas $y=1-x^2~~~~e~~~~y=e^x$, determine o valor aproximado da integral $\int\int_{D}~y^2dA$.

 

 

 

 

Sugestão minha:

 

Utilize métodos numéricos para encontrar as raízes das equações se necessário, métodos tais como, Newton-Raphson, Método das Secantes e Método das aproximações sucessivas.

Answer 1

Primeiro desenhamos as curvas e identificamos a região D, assim podemos obter o seguinte gráfico.

E com isso suas raízes, contudo como sugerido pode usar os métodos numéricos no estudo de zero de função, para obter essas raízes, onde vamos ter:
$e^{x} =1-x^2\\ e^{x} +x^2-1=0 f(x) = e^{x} +x^2-1$

A função f será analisada a partir do métodos numéricos, logo, aconselho o uso do método de Newton-Raphson. Então, como no gráfico e fazendo pelo método encontramos as seguintes raízes:
x = 0
x = -0,7146

A partir disso podemos desenvolver nossa integral, adicionando o limite inferior e superior de y e depois de x, e substituindo o dA de coordenadas retangulares.

$\[\int_{-0,7146}^{0} \int_{1-x^2}^{e^x}y^2dydx\]$
$\frac{1}{3}\int_{-0,7146}^{0} e^{3x}-(1-x^2)^3dx$
$\frac{1}{3}\int_{-0,7146}^{0} (e^{3x}-1+3x^2-3x^4+x^6)dx$
$\[\frac{1}{3}.0,06271\]\\ 0,021$

Agradeço se avaliar a resposta e dá um obrigado.