Question

Se d | a e d | (a + b), então mostre que d | b.

Answer 1

Se d | a então a é múltiplo de d : a = x.d ; e se d | (a+b) então a+b é múltiplo de d : a+b = y.d –› x.d + b = y.d –› b = y.d - x.d = (y-x).d , como b pode ser escrito em função de d então b é múltiplo de d e consequentemente d | b

Answer 2

$d\,|\,a~~\Rightarrow~~\exists~k_{1}\in\mathbb{Z}~tal~que~a=k_{1}\cdot d\\d\,|(a+b)~~\Rightarrow~~\exists~k_{2}\in\mathbb{Z}~tal~que~a+b=k_{2}\cdot d$

Substituindo $a$ por $k_{1}\cdot d$ na segunda equação, temos

$k_{1}\cdot d+b=k_{2}\cdot d\\\\b=k_{2}\cdot d-k_{1}\cdot d$

Colocando d em evidência:

$b=(k_{2}-k_{1})\cdot d$

Como $k_{1}, k_{2}$ são inteiros, a diferença entre eles é um número inteiro, logo existe $k=k_{2}-k_{1}\in\mathbb{Z}$ tal que $b=k\cdot d~~\Rightarrow~~d\,|\,b$