Question

Se cotg x + tg x = 12, o valor de sen 2x é:

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Answer 1

O valor de sen 2x é igual a $\mathsf{\dfrac{1}{6}.}$

Explicação

Para a resolução desta questão, vamos usar as seguintes relações trigonométricas:

$\large\boxed{\begin{array}{l}\sf sen^2x+cos^2x=1,\,\forall x\in\mathbb{R}\\\\\sf cotg\,x=\dfrac{cos\,x}{sen\,x},\,x\neq k\pi\\\\\sf tg\,x=\dfrac{sen\,x}{cos\,x},\,x\neq \dfrac{\pi}{2}+k\pi\\\\\sf sen\,2x=2\cdot sen\,x\cdot cos\,x,\,\forall x\in\mathbb{R}\end{array}}$

Partindo da hipótese do enunciado e usando as relações apresentadas, temos:

$\large\mathsf{cotg\,x+tg\,x=12}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\dfrac{cos\,x}{sen\,x}+\dfrac{sen\,x}{cos\,x}=12}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\dfrac{cos^2x+sen^2x}{sen\,x\cdot cos\,x}=12}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{\dfrac{1}{sen\,x\cdot cos\,x}=12}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{sen\,x\cdot cos\,x=\dfrac{1}{12}}$

Como queremos o valor de sen 2x, multiplicaremos ambos os membros da última igualdade por 2. Daí, ficamos com:

$\large\mathsf{sen\,x\cdot cos\,x=\dfrac{1}{12}}\implies\\\\\\\implies\large\mathsf{2\cdot sen\,x\cdot cos\,x=2\cdot\dfrac{1}{12}}\implies\\\\\\\implies\large\boxed{\boxed{\mathsf{sen\,2x=\dfrac{1}{6}}}}$

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Espero ter ajudado! :)