Question

se cos2x=1/4,então tg²x é igual a:​

Answer 1

Se cos(2x) = 1/4, então tg²(x) é igual a 3/5.

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Inicialmente, se temos o cosseno da soma de dois arcos então sabemos que:

$\large\begin{array}{l}cos(2x)=cos(x+x)\\\\cos(2x)=cos(x)cos(x)-sen(x)sen(x)\\\\cos(2x)=cos\:\!^2(x)-sen\:\!^2(x)\\\\\therefore~~se~~cos(2x)=1/4:\\\\cos\:\!^2(x)-sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}\end{array}$

Assim podemos enxergar a grande sacada dessa questão. O objetivo aqui é encontrarmos os valores de cos²(x) e de sen²(x) nessa equação para depois determinar o valor de tg²(x). Então pensando nisso, podemos usar a seguinte identidade: cos²(x) + sen²(x) = 1, cuja também a chamamos de relação fundamental da trigonometria, a fim de resolver para cos²(x), temos:

$\begin{array}{l}cos\:\!^2(x)+sen\:\!^2(x)=1\\\\cos\:\!^2(x)=1-sen\:\!^2(x)\end{array}$

Substituindo esse valor na eq.:

$\begin{array}{l}cos\:\!^2(x)-sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}\\\\1-sen\:\!^2(x)-sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}\\\\-\,2sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}-1\\\\-\,2sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}-\dfrac{4}{4}\\\\-\,2sen\:\!^2(x)=-\,\dfrac{3}{4}\\\\2sen\:\!^2(x)=\dfrac{3}{4}\\\\sen\:\!^2(x)=\dfrac{3}{4}\cdot\dfrac{1}{2}\\\\sen\:\!^2(x)=\dfrac{3}{8}\end{array}$

E agora, a fim de encontrar cos²(x) vamos substituir o valor de sen²(x) na eq. inicial:

$\begin{array}{l}cos\:\!^2(x)-sen\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}\\\\cos\:\!^2(x)-\dfrac{3}{8}=\dfrac{1}{4}\\\\cos\:\!^2(x)=\dfrac{1}{4}+\dfrac{3}{8}\\\\cos\:\!^2(x)=\dfrac{2}{8}+\dfrac{3}{8}\\\\cos\:\!^2(x)=\dfrac{5}{8}\end{array}$

Sendo assim, temos que sen²(x) = 3/8 e que cos²(x) = 5/8, então agora podemos encontrar tg²(x). Veja a seguinte identidade tg²(x) = sen²(x)/cos²(x), logo:

$\large\begin{array}{l}tg\:\!^2(x)=\dfrac{sen\:\!^2(x)}{cos\:\!^2(x)}\\\\tg\:\!^2(x)=\dfrac{3/8}{5/8}\\\\tg\:\!^2(x)=\dfrac{3}{8}\cdot\dfrac{8}{5}\\\\tg\:\!^2(x)=\dfrac{3}{1}\cdot\dfrac{1}{5}\\\\\!\boldsymbol{\boxed{tg\:\!^2(x)=\dfrac{3}{5}}}\end{array}$

Portanto, o valor de tg²(x) é igual a 3/5.

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$\!\!\!\!\Large\begin{array}{l}\beta\gamma~N\alpha sg\theta v\alpha sk\theta v\\\Huge\text{\sf ---------------------------------------------}\end{array}$

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