Question

Se cos x - sen x = 1/3 , determine sen 2x

Answer 1

Se  cos x − sen x = 1/3,  determinar  sen 2x.


Eleve ao quadrado os dois lados da igualdade dada:

     $(\cos x-\mathrm{sen\,}x)^2=\left(\dfrac{1}{3}\right)^{\!2}$


Expanda o quadrado da diferença no lado esquerdo usando produtos notáveis:

     $\cos^2 x-2\cos x\,\mathrm{sen\,}x+\mathrm{sen^2\,}x=\dfrac{1}{9}\\\\\\ (\cos^2 x+\mathrm{sen^2\,}x)-2\,\mathrm{sen\,}x\cos x=\dfrac{1}{9}$


Mas

     •  cos² x + sen² x = 1     (identidade trigonométrica fundamental)

     •  2 sen x cos x = sen 2x    (seno do arco duplo)


e ficamos com

     $1-\mathrm{sen\,}2x=\dfrac{1}{9}\\\\\\ \mathrm{sen\,}2x=1-\dfrac{1}{9}\\\\\\ \mathrm{sen\,}2x=\dfrac{9-1}{9}$

     $\mathrm{sen\,}2x=\dfrac{8}{9}$    <————    esta é a resposta.


Bons estudos! :-)