Question

Se cos(x) = ½ determine o valor de y = ctg(x) -1 / csc(x) - sec(x).
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Answer 1

Partimos da expressão dada:

    $\mathsf{y=\dfrac{cotg\,x-1}{csc\,x-sec\,x}}$

Basta lembrarmos que

    $\mathsf{cotg\,x=\dfrac{cos\,x}{sen\,x},\quad csc\,x=\dfrac{1}{sen\,x}\quad e\quad sec\,x=\dfrac{1}{cos\,x}.}$

Substituindo acima na expressão de y, temos

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\frac{cos\,x}{sen\,x}-1}{\frac{1}{sen\,x}-\frac{1}{cos\,x}}}$

Para simplificar o lado direito, vamos multiplicar o numerador e o denominador por sen x · cos x ≠ 0:

     $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=\dfrac{(\frac{cos\,x}{sen\,x}-1)\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}{(\frac{1}{sen\,x}-\frac{1}{cos\,x})\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{\frac{cos\,x}{sen\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)-1\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}{\frac{1}{sen\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)-\frac{1}{cos\,x}\cdot (sen\,x\cdot cos\,x)}}\\\\\\ \mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{cos^2\,x-sen\,x\cdot cos\,x}{cos\,x-sen\,x}}$

Coloque cos x em evidência no numerador:

    $\mathsf{\Longleftrightarrow\quad y=\dfrac{cos\,x\cdot (cos\,x-sen\,x)}{cos\,x-sen\,x}}$

Simplifique o fator comum (cos x − sen x) que aparece no numerador e no denominador, sabendo que cos x − sen x ≠ 0:

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=cos\,x}$

Como sabemos o valor de cos x = 1/2, obtemos então

    $\mathsf{\Longrightarrow\quad y=\dfrac{1}{2}\quad\longleftarrow\quad resposta.}$

Bons estudos! :-)